JULES TANXERY — DE L'INIMM MATHÉMATIQUE 



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dimensions avec un ensemble à trois dimensions 

 et il n'y aura aucune difliculté de plus à considérer 

 des ensembles à quatre, cinq, ..., n dimensions. 

 Je me bornerai à parler des ensembles à deux di- 

 mensions, car l'ex tension des notions qui suivent aux 

 ensembles fi plusilo dimensionsse fait d'elle-même. 

 Je viens de parler de l'ensemble déterminé dont 

 les éléments sont tous les couples distincts pos- 

 sibles formés d'un premier et d'un second nombre 

 réels. Il est clair qu'on peut aussi bien considé- 

 rer des ensembles déterminés dont les éléments 

 soient certains des couples distincts que l'on peut 

 ainsi obtenir, par exei'nple tous les couples formés 

 au moyen d'un premier et d'un second nombre ra- 

 tionnel, etc.. Cela posé, appelons avec M. Jordan, 

 écnrt de deux couples [a, b), [a', b') la somme des 

 valeurs absolues des difTérences a — a', b — h'. 

 Puis, considérons un ensemble déterminé (E) à deux 

 dimensions, comportant un nombre infini d'élé- 

 ments : un couple (o.i) sera dit couple limite de (Ei 

 si. quelque peîit que soit le nombre positifs, il 

 y a dans lEj une infinité de couples dont l'écart 

 avec le couple [n, b) soit moindre que t. L'existence 

 de couples lin:iites pour tout ensemble infini (El 

 tel que l'écart de l'un quelconque de ses éléments 

 et du couple (0, 0) soit moindre qu'un nombre fixe 

 donné résulte d'un théorème dû au mathématicien 

 tchèque Bolzano. Un couple limite de l'ensem- 

 ble E; peut d'ailleurs appartenir ou ne pas appar- 

 tenir à l'ensemble (E). L'ensemble (E') des couples 

 liiuites de l'ensemble (E) est ce que M. G. Cantor 

 appelle l'ensemble dérivé de (E). Si les deux en- 

 sembles ,E), (E'j sont identiques, c'est-à-dire si 

 chaque élément de l'un appartient à l'autre, l'en- 

 semble (E) est dit parfait. Pour qu'un ensemble lEi 

 constitue un continu (à deux dimensions) il faiit 

 qu'il soit parfait, mais cela ne suffit pas, 11 faut 

 encore qu'il soit connexe [zusamvienhângcnd), c'est- 

 à-dire que, si l'on considère deux éléments quel- 

 conques lot, a'i, fp, |3') de cet ensemble, il existe 

 dans l'ensemble, quelque petit que soit le nombre 

 positifs, une suite finie d'éléments commençant à 

 l'élément (a, a'}, se terminant à l'élément (3, p'}, 

 tels que l'écart entre deux éléments consécutifs de 

 cette suite soit moindre que t. k ces conditions, 

 l'ensemble E) sera un continu. Il faut remarquer 

 combien cette notion de continu est, pour ainsi 

 dire, impréj^née d'infini : sans doute, l'infini est 

 déjà inséparable du nombre entier, mais on peut, 

 en quelque sorte, oublier cet infini en pensant 

 à un nombre entier tout seul. Des que l'on a con- 

 struit le nombre rationnel, voici qu'entre deux 

 nombres quelconques, entre et 1 par exemple, il 

 y a une infinité de nombres rationnels; mais, au 

 moins, chacun de ces nombres, à lui seul, est bien 

 fini, il n'est rien qu'un couple de nombres entiers. 



Ce n'est pas tout : nous ne sommes pas arrivés à ce 

 continu, qui remplit tout l'intervalle de à 1 ; le 

 réseau infini des nombres rationnels est insufti- 

 sanf, ce n'est encore qu'un ])ointillé; pour boucher 

 les trous, qu'aucun microscope ne jjermettrait d'a- 

 percevoir, il faut une matière, dont chaque élément, 

 le nombre irrationnel, est en quelque sorte plein 

 d'infini, puisqu'il est inséparable de l'idée d'une 

 suite infinie de nombres entiers, et nous allons 

 voir tout à l'heure dans quel sens on peut dire 

 qu'il faut infiniment plus de ces éléments pleins 

 d'infini que de nombres rationnels pour réaliser le 

 continu entre et 1. 



IX 



Une autre notion essentielle que l'on doit à 

 M. G. Cantor est celle de puissance, extension 

 nécessaire et hardie de la notion de nombre. Si 

 l'on considère deux ensembles (A), (B), il peut se 

 faire qu'on conçoive une correspondance entre les 

 éléments de ces ensembles telle que chaque élé- 

 ment de l'un ait son correspondant dans l'autre; 

 on doit entendre, d'ailleurs, le mot correspondance 

 en ce sens que si l'élément b de (B) correspond à 

 l'élément a de (A), inversement c'est l'élément a 

 de (A ) qui correspond à l'élément b de ( B) ; en d'au- 

 tres termes, la correspondance doit être réciproque. 

 S'il en est ainsi, les deux ensembles (A) (Bi ont la 

 même puissance : tel est le cas, par exemple, de 

 l'ensemble des nombres entiers et de l'ensemble 

 des nombres pairs, puisque à chaque nombre 

 entier on peut faire correspondre son double, qui 

 est un nombre pair; réciproquement, à chaque 

 nombre pair, correspond sa moitié, dans l'ensemble 

 des nombres entiers '. S'il est impossible de déta- 

 cher de l'ensemble Ai une partie lA'), c'est-à-dire 

 un ensemble (A' i dont chaque élément appartient 

 à (A), qui soit de même puissance que (Bi, et si, 

 au contraire, il y a une partie (B'i de (B) qui ait la 

 même puissance que (A), on dira que la puissance 

 de (B) est plus grande que la puissance de (A). 

 Deux ensembles étant donnés, il faut : ou bien que 

 leurs puissances soient égales, ou bien que la puis- 

 sance de l'un soit supérieure à la puissance de 

 l'autre. Cette notion de puissance donne naissance 

 à une suite de symboles, que M. Cantor désigne 

 sous le nom de nombres transfinis, et avec lesquels 

 on peut opérer d'après des règles précises. Sans 

 entrer dans cette théorie, je me bornerai à signaler 

 les résultats suivants : l'ensemble des nombres 

 rationnels est de la même puissance que l'en- 

 semble des nombres entiers ; l'ensemble des 

 nombres réels est d'une puissance supérieure à 



' On a là fexemple d'un enseiulile infini ayant la momc 

 puissance que l'une de ses parties, équivalent à l'une de ses 

 parties . 



