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JULES TANNERY — DE L'INFIM MATHÉMATIQUE 



l'ensemble des nombres entiers; cette puissance 

 est la même que pour l'ensemble des nombres irra- 

 tionnels ou que pour l'ensemble (continu) des 

 nombres réels compris entre et l;ce dernier 

 ensemble a la même puissance que n'importe quel 

 ensemble continu à n dimensions. Pour ce qui est 

 de la puissance, tous les continus s'équivalent, 

 quelles que soient leurs dimensions. 



Dans le cas de deux ou trois dimensions, on peut 

 donner à ce théorème un énoncé géométrique : Si, 

 par exemple, on considère un cercle et l'un de ses 

 rayons, on peut établir entre l'ensemble (A) des 

 points situés sur le rayon et l'ensemble (B) des 

 points situés à l'intérieur et sur la circonférence 

 du cercle une correspondance telle que chaque 

 point de (A) corresponde à un point de (B), et inver- 

 sement : il n'y a pas, en ce sens, plus de points 

 dans le cercle que sur son rayon. Ainsi complété, 

 un continu quelconque trouve son image dans un 

 continu quelconque, et il n'importe pas que le 

 nombre de dimensions soit le même dans un con- 

 tinu et dans l'autre : en un certain sens, la^notion 

 de dimension disparaît. Les images dont je viens 

 de parler seraient singulièrement difficiles à lire ; 

 les correspondances qu'a imaginées M. Cantor sont 

 d'une nature compliquée, et, pom- en revenir à 

 l'exemple du cercle et de son rayon, M. Cantor ne 

 s'impose nullement la condition qu'à deux points 

 voisins situés sur le rayon correspondent deux 

 points voisins de la surface du cercle ; M. Peano a 

 réalisé une correspondance qui satisfait à cette 

 condition : il a montré qu'on pouvait construire 

 deux fonctions tp {i), ^ (<), continues quand t varie 

 de à 1 et telles que, dans ces conditions, le point 

 dont les coordonnés sont 



■f[t), 



y = i/[i) 



vient occuper toutes les positions possibles à l'in- 

 térieur d'un carré. Mais il est bien évident qu'une 

 pareille correspondance ne pourrait avoir lieu avec 

 des fonctions tp (<),| (0 qui admettraient des déri- 

 vées; il existe donc des classes de transformation 

 (et ce sont de beaucoup les plus intéressantes) 

 pour lesquelles le nombre de dimensions doit res- 

 ter inaltéré, et cela suffit à séparer nettement les 

 continus à une, deux, trois... n dimensions. Au 

 contraire, c'est souvent par des transformations 

 extrêmement simples qu'un continu, à deux dimen- 

 sions par exemple, vient former son image dans 

 un autre continu à deux dimensions, et l'élude de 

 ces transformations est une des parties essentielles 

 des Mathématiques. Bien que l'exemple qui suit ne 

 réalise pas la transformation d'un continu en un 

 continu, en employant ces mots dans le sens de 

 M. Cantor, il suffira à faire comprendre au lecteur 

 le moins versé dans les Mathématiques, comment 



chaque point de l'espace peut venir former son 

 image à l'intérieur d'une sphère de rayon égal à 

 un mètre : il suffira de joindre le point A au cen- 

 tre de la sphère et de lui faire correspondre le 

 point A' situé sur OA et tel que l'on ait 



»v = ,-^^ 



à chaque point de l'espace correspondra un point 

 de l'intérieur de la sphère, et chaque point situé à 

 l'intérieur de la sphère sera le correspondant d'un 

 point de la sphère. L'espace tout entier n'est pas 

 plus infini que cet intérieur de sphère. 



M. Couturat a fort bien résumé, dans une note 

 placée à la fin de son livre, les principaux résul- 

 tats obtenus par M. Cantor; il me semble qu'il 

 aurait dû leur faire une place plus grande et meil- 

 leure. Ces résultats prouvent que, en fait, il est 

 possible de raisonner sur l'infini, et d'en atteindre 

 quelques propriétés positives, en partant de la 

 seule idée d'une certaine détermination se pour- 

 suivant jusqu'à l'infini. Les spéculations de M. Can- 

 tor, qui, il faut bien le dire, n'ont rendu encore 

 dans les Mathématiques proprement dites, telles 

 qu'elles sont organisées, que des services limités, 

 n'en ont pas moins une haute portée philoso- 

 phique. Il semble à quelques personnes que ces 

 spéculations sont la seule contribution vraiment 

 nouvelle apportée par les Mathématiques modernes 

 à la notion del'inlini. 



Il appartenait à M. Coutural de faire ressortir 

 cette portée, plus encore qu'il ne l'a fait. A-t-il eu 

 peur d'effaroucher les philosophes, ou de fâcher 

 les mathématiciens qui n'aiment pas les idées de 

 M. Cantor? Ou bien, aurait-il, sans le savoir, été gêné 

 par ces spéculations même qui, avec le nombre 

 seul, réalisent un parfait équivalent de la grandeur 

 continue? Eh quoi ! n'y a-t-il rien de plus dans la 

 grandeur que dans le nombre, et Vimitalion vaut- 

 elle l'original? Je la crois, pour ma part, supé- 

 rieure en précision et en puissance, et je pense 

 qu'il faut en arriver à construire la grandeur à 

 l'imitation du nombre. La notion de grandeur, qui 

 garde quelque chose de confus, est provisoire; elle 

 a été utile, parce qu'elle a aidé à l'élaboration de 

 cette idée de nombre sur laquelle M. Couturat s'est 

 si longuement étendu; je ne crois pas qu'elle la 

 justifie, je ne crois même pas qu'elle ait joué, dans 

 cette élaboration, un rôle nécessaire. Le nombre 

 entier seul y suffisait', avec cette passion des 

 hommes pour les jeux logiques, qui se manifeste 

 déjà si vivement chez les enfants en quête de 

 devinettes, de charades, de rébus et de mots 



' Je laisse de côté l'objection très sérieuse de ceux qui 

 pourraient soutenir que l'idée de grandeur était nécessaire 

 pour la formation de l'idée de nombre entier. 



