JULES TANNERY — DE L'INFINI MATHÉMATIQUE 



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carrés. N'y a-t-il pas, dans les plus petites villes et 

 les plus reculées, des hommes sérieux qui passent 

 de longues heures ù chercher des problèmes 

 d'échecs ou de dominos, et qui éprouvent une joie 

 analogue à celle du mathématicien qui se voit 

 imprimé dans les Comptes rendus, lorsqu'ils trou- 

 vent à la dernière page d'un journal illustré leur 

 nom, ou même un pseudonyme modeste, comme 

 l'o Œdipe du café du Mans», qui les désigne suffi- 

 samment, et, puisque cette passion pour les com- 

 binaisons logiques est si répandue, faut-il s'étonner 

 qu'elle soit ressentie par quelques hommes de 

 génie? Sans doute, t'est l'idée de la grandeur 

 continue qui a donné naissance aux fractions ; mais 

 quel plaisir n'aurait pas éprouvé le penseur qui 

 aurait observé qu'avec un symbole composé de 

 deux nombres entiers on pouvait rendre possibles 

 toutes les divisions, et que l'on pouvait conserver, 

 pour le calcul de ces symboles, les lois essentielles 

 du calcul des nombres entiers? N'est-ce pas les 

 « solutions fausses » des équations, plus encore 

 que leur interprétation géométrique, qui a donné 

 naissance aux nombres négatifs? Le problème 

 de l'extraction de la racine carrée, avec une 

 approximation indéfinie, ne pouvait-il se poser 

 sans parler de l'incommensurabilité du côté du 

 carré et de sa diagonale ? Pour les nombres imagi- 

 naires, chacun sait qu'ils ont eu, en fait, une ori- 

 gine purement algébrique : ils se sont présentés à 

 propos de l'équation du second degré ; les mathé- 

 maticiens les ont employés hardiment sans se 

 préoccuper d'en faire une théorie rigoureuse, et 

 c'est le succès seul qui a justifié cette hardiesse, 

 non la représentation géométrique des imagi- 

 naires. Il n'y a rien de plus dans cette représenta- 

 tion géométrique que ce fait : à tout système de 

 deux nombres réels on peut faire correspondre un 

 point. En quoi cette représentation géométrique 

 éclaire-t-elle la vraie nature des nombres imagi- 

 naires et donne-t-elle le secret de leur importance? 

 Aucune des théories, parfaitement rigoureuses, 

 sur lesquelles on peut appuyer leur introduction, 

 et qui reviennent toujours à considérer deux nom- 

 bres réels réunis dans un même symbole, ne donne 

 ce secret : Pourquoi ce symbole, créé pour le 

 second degré, suffit-il pour les équations de tous 

 les degrés'? Comment prévoir, sur la définition 

 de ce symbole, son importance dans le domaine du 

 transcendant, dans le calcul intégral, et le rôle, si 

 étrangement prépondérant, des fonctions analy- 

 tiques? Non, en créant ce symbole, les mathéma- 

 ticiens n'étaient guidés par aucune idée de gran- 

 deur, pas plus que ceux qui, plus tard, en étudiant 



' Je me rappelle eniore l'impression d'étonnement que 

 nous causait cette question, il y a trente ans, quand M.Her- 

 mitc nous la posait dans ses conférences de l'Ecole Normale. 



les nombres entiers algébriques, ont créé les 

 « idéaux » pour retrouver dans la théorie de ces 

 nombres les lois de la divisibilité des nombres 

 entiers. Dans cette merveilleuse organisation de 

 l'idée de nombre, il semble que l'homme se soit joué 

 des obstacles les plus impossibles à surmonter, qui 

 l'attiraient et qu'il a plus d'une fois réussi à tour- 

 ner ; l'obstacle n'était vraiment dépassé que quand 

 l'homme avait retrouvé, souvent démesurément 

 agrandies, les lois qui régissaient la région qu'il 

 venait de quitter; son goùtesthétique pour l'ordre, 

 pour ce qui est à la fois nouveau et le même, était 

 satisfait pour un instant; mais les jouissances de 

 l'esprit, elles aussi, passent vite; d'autres obstacles 

 se dressaient qu'il fallait encore tourner pour 

 acquérir un instant l'illusion d'être arrivé au but. 



Revenons à l'infini : s'il est nécessaire, il n'im- 

 porte pas beaucoup qu'il soit commode. Il me 

 semble que M. Couturat a trop insisté sur les com- 

 modités de l'infini. Une équation du premier 

 degré ax^b a toujours une racine, et une seule, 

 lorsque a n'est pas nul. Par une haine toute philo- 

 sophique contre les exceptions, M. Couturat veut 

 qu'elle ait toujours une racine, et que cette racine 

 soit infinie lorsque a est nul : ce langage est sou- 

 vent commode, mais, par cela même qu'il faut l'ex- 

 pliquer, on voit assez qu'il n'est pas nécessaire, et 

 M. Couturat aurait pu craindre la plaisanterie un 

 peu facile, mais qui trouverait trop souvent sa 

 place, de ceux qui l'auraient accusé d'appeler infini 

 ce qui n'existe pas. 11 insiste avec raison sur la 



légitimité du symbole T.-tout aussi légitime, dit-il, 



que le symbole -. ; je dois ajouter qu'il a écrit un 



intéressant chapitre sur la corrélation entre le zéro 

 et l'infini: il est vrai que, au point de vue de la 

 grandeur, on conçoit aussi difficilement le <i devenir 

 nul >> que le « devenir infini ». Mais, pour en 



1 

 revenir au symbole t.' si ce symbole est légitime, 



en tant que symbole, il faudrait craindre de l'em- 

 ployer dans les calculs, et la crainte de se tromper 

 dans les calculs est, pour le mathématicien, le 

 commencement de la sagesse. Déjà le nombre 

 cause assez d'ennuis, parce qu'on ne peut diviser 



1 

 par 0; le nombre ô'Iu^ ne pourrait se retrancher 



des deux membres d'une équation. Voilà sans 

 doute pourquoi il vaut autant ne pas introduire ce 

 symbole. 



Des observations analogues s'appliqueraient à la 

 phrase « deux droites parallèles se rencontrent à 



