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JULES TANNERY — DE L'INFINI MATHÉMATIQUE 



l'infini »; on sait qu'elle signifie la même chose ] 

 i[ue « deux droites parallèles ne se rencontrent 

 pas à distance finie ». L'expression est commode 

 dans beaucoup de cas, puisqu'elle permet de 

 mettre plus d'unité dans les énoncés, mais elle n'est 

 pas nécessaire ; le point à l'infini sur la droite était 

 indispensable à M. Couturat pour justifier le 



l 

 nombre infini - ; mais, s'il n'avait pas introduit ce 



nombre, il n'aurait pas été obligé de le justifier. 

 Pourquoi aussi, dans ces mêmes chapitres sur les 

 commodités de l'infini, a-t-il employé si souvent les 

 termes continuité, limite, etc., dans un sens autre 

 que le sens très défini adopté par les mathémati- 

 ciens? Ceux-ci, sans doute, ne s'y tromperont pas, 

 d'autres lecteurs auraient dû être avertis; ils 

 auraient dû être avertis aussi, plus tôt qu'ils ne 

 l'ont été, de ce qu'il y a d'un peu précaire dans le 

 ri'ilc que jouent en Géométrie les éléments à l'infini 

 du plan ou de l'espace : ce rôle change singulière- 

 ment suivant les pièces ; ici, dans la Géométrie où 

 l'on s'occupe des propriétés qui se conservent par 

 transformation homographique, les points à l'infini 

 d'un plan apparaissent comme étant en ligne droite; 

 là, dans la Géométrie où l'on traite des propriétés 

 qui se conservent par inversion, ces éléments appa- 

 raifsent comme étant réunis en un même point, par 

 où vont passer toutes les droites du plan, qui, 

 maintenant, ont deux points communs, tandis que, 

 tout à l'heure, elles n'en avaient qu'un. La nature 

 qu'il convient d'attribuer aux éléments à l'infini 

 dépend donc des méthodes de transformation. Ce 

 n'est pas une nature qu'ils aient en propre : on n'a 

 pas atteint une vraie propriété de l'infini, on n'a 

 louché qu'un vêtement changeant, on n'a pas 

 acquis des idées essentielles, on a appris quelques 

 locutions, dont il est bon de savoir quand elles 

 sont de mise. Ces locutions, M. Couturat devait 

 assurément les signaler; il faut aussi lui savoir gré 

 d'avoir fuit connaître quelques-unes des idées de 

 von Staudt, qui a été l'un des géomètres les plus 

 profonds de ce siècle. Mais pourquoi a-t-il parlé si 

 dédaigneusement des coordonnées homogènes? Ce 

 n'est pas sans doute parce qu'elles mettent dans le 

 langage etdans les raisonnements une clarté etune 

 sûreté parfaites? Est-ce doue parce qu'elles élimi- 

 nent l'infini là où il n'est pas nécessaire? 



Un des problèmes importants que M. Couturat 

 traite avec détail est celui de l'application du 

 nombre à la grandeur. Sous quelles conditions 

 une grandeur est-elle mesurable ? Il s'est surtout 

 occupé des grandeurs qu'on pourrait appeler 

 directement mesurables, de celles pour lesquelles 

 il y a proportionnalité entre la grandeur et la 

 mesure. Le sujet est traité d'une façon très com- 

 plète. Ici, les notions de nombre et de grandeur se 



recouvrent entièrement. Il y aurait intérêt' à étu- 

 dier aussi le cas plus général où la proportionnalité 

 n'est plus supposée et l'application du nombre à 

 ces grandeurs pour lesquelles on ne suppose plus 

 que les notions d'égalité, de plus gi'and ou de plus 

 petit. Je ne veux m'arrêter que sur la notion d'éga- 

 lité, parce qu'il y a là un point que l'auteur aurait 

 pu mettre mieux en lumière; ce que l'on appelle 

 communément les axiomes de l'égalité sont, comme 

 l'a très bien vu von Helmholtz, des conditions im- 

 posées à la définition de l'égalité : ils consistent 

 dans une suite de propositions que l'on peut rapi- 

 dement énoncer comme suit : 



1° Ona A = A; 



2' L'égalité A^ B entraine l'égalité B:= A; 



3° Les égalités A = B, B=C entraînent l'éga- 

 lité A=C. 



Ne conviendrait-il pas de rattacher ces conditions 

 à la définition du groupe ? Il me semble qu'on ajjer- 

 cevrait mieux ainsi la nature de ces conditions, 

 l'importance de chacune d'elles, et le caractère 

 relatif de l'égalité. 



XI 



Les critiques que je me suis permises n'ont 

 d'autre origine que la haute estime dans laquelle 

 je tiens le livre qui a été l'objet de cet article, ni 

 d'autre signification que celle-ci : l'auteur du 

 livre et l'auteur de l'article pensent dilïéremment 

 sur quelques points. Il ne m'appartient point de 

 parler des chapitres qui ont un caractère technique, 

 du dialogue entre le finitiste et l'infiniste, ni sur- 

 tout des antinomies de Kant. C'est une bonne 

 règle que de respecter, au moins provisoirement, 

 ce qu'on ignore. Si ce n'est pas une règle de 

 morale, c'en est une de prudence, et l'on peut esti- 

 mer qu'il n'y a aucune modestie à l'appliquer. 

 Quoi qu'il en soit, la thèse de M. Couturat, en 

 dehors même de sa valeur intrinsèque, légitime 

 quelques espérances. On peut croire que la période 

 fâcheuse où beaucoup de savants et de philosophes 

 s'isolaient les uns des autres et se regardaient 

 avec un peu de défiance et de dédain, touche à son 

 terme. Il y en a d'autres signes : Ici même, ou 

 dans la Revue de Mélaphijxique et de Morale, ou 

 dans les préfaces de ses livres, M. Poincaré n'a pas 

 craint d'aborder des problèmes nettement philoso- 

 phiques et les a traités avec la liberté d'esprit, la 

 lucidité et la puissance de pénétration qui lui sont 

 coutumières. Il renoue ainsi une tradition qui est 

 singulièrement glorieuse pour notre pays. 



Jules Tannery, 



Sous-l/ireolcur et Maitre Je Conférences 

 à l'Ecolo Normale Supérieure. 



' Je dois cette observation à M. Darboux. 



