BIBLIOGRAPHIE — ANALYSliS ET INDEX 



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BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1" Sciences mathématiques 



Goiii*sat (E.), Maître de Conférewcs à l'V.rolo Normale 

 Supérieure. — Leçons sur l'intégration des équa- 

 tions aux déi'ivées partielles du second ordre à 

 deux variables indépendantes. T'orne / ; Problème de 

 Cauchy ; caractéristiques ; intégrales intermé- 

 diaires. — i ii'l.f/rînvi //i-S'' de ■22ij}ayes.[Prix: 1 fr. JiO.) 

 Herihunn, édileur. l'uris, IHiMj. 



Ci'l ouvrage, dans la pensée de l'aulour, forme la 

 suiti' nalui'i'lli' du Irailt; bien connu qu'il a publié sur 

 l'iulégralion des équations au.K dérivées parlielles du 

 proniier ordre. Toutefois, les deux questions sont loin 

 de se présenter sous le même aspect. La première a 

 dés maintenant un caractère acbevé : la mélliode, du 

 moins eu ce qui concerne le cas général, y est lîxée et 

 semble même avoir atteint son maximum de simplicité. 

 Au contraire, les équations du second ordre se refusent 

 in général à l'intégration : les géomètres ont été 

 uliligés de se rejeter sur les voies moins directes qui 

 leur restaient ouvertes, et, en particulier, sur la 

 reclierche des intégrales particulières délînies par des 

 conditions aux limites données. 



Li! vidumc actuel est consacré au Problème de Cauchy 

 (délerniinatinn d'une surface intégrale, supposée 

 analytique, par une courbe et le plan tangent en chaque 

 poin'l di' cette courbe). C'est celui dont la théorie se 

 ra|i|i['oche le plus des théories relatives aux équations 

 du premier nrdre, bien qu'il soit impossible d'arriver, 

 par la généi-alisaliou de celles-ci, à la solution complète 

 du nouveati problème. 



Ces analogies sont mises nettement en lumière dans 

 le cas particulier par lequel M. Coursât commence son 

 exposition. On sait que l'intégrale générale d'une 

 rcpiation aux dérivées partielles du premier ordre peut 

 ('■Ire considérée comme représentant : si l'équation est 

 linéaire, un lieu de courbes; sinon, une enveloppe de 

 surfaces. L'auteur considère de même : 1° les surfaces 

 lieux de courbes d'un complexe donné ; ou bien 2° les 

 surfaces enveldppes de snrfaci's appartenant à un com- 

 plexe di' surfaces donné. Dans lesdeuxcas, lessurfaces 

 en question salisf(nit à une é(iualion aux dérivées par- 

 tielles linéaires en )■, s, /, )'(-s-(les coeflicients étant des 

 fcuictions de x, y,z, p, g), équation qui admet une inté- 

 grale singulière du premier ordre. Celte intégrale sin- 

 gulière peut d'ailleurs fournir la véritable solution du 

 |irnl)lème, comme il arrive poiu' la question posée par 

 M. Darboux : Trouver une surface connaissant une relation 

 entre hs paramèlres d'une des sphères osculalrices. 



L'auteur énonce ensuite le problème de Cauchy et 

 imnitie qu'il a une solution déterminée, sauf pour 

 ceilains cliiiix de la courbe et de la développable. Il 

 déljnil Viutèijrale générale comme l'ensemble des inté- 

 grales ainsi obtenues, lorsqu'on fait varier cette courbe 

 el cette développable de toutes les manières jjossibles; 

 liiule fonction qui satisfait à l'équation sans être com- 

 prise dans l'intégrale générale étant inlégrale singulière. 

 il montre que ce,crilérium doit être substitué à celui 

 (|ui consiste à décider de la généralité de l'intégrale 

 (i'après le nombre des fonctions arbitraires qui y ïigu- 



d^z fi- 

 rent : lequalion y-j ^ — , par exemple, a une inté- 

 grale générale dépendant d'une seule fonction. Il ter- 

 mine ce premier chapitre en faisant voir que l'analogie 

 constatée, dans le cas particulier qu'il vient de iraiter, 

 avi^; les équalions du premier ordre, ne s'étend qu'in- 

 complèteini-nl au cas général : la méthode de la va- 

 riation des c(]nstantes arbitraires ne permet pas 



d'intégrer en gi''néral les éi|ualiinis du seiond ordre. 



Le second chapitre traite de la théorie qui l'ait l'objel 

 essentiel de l'ouvrage : la théorie des caractéristiques 

 appliquée aux équations de Mongc et d'Ampère, c'est- 

 à-dire aux équations lim';aires en r, s, t, rl-s'. M. Cour- 

 sât discute les résultats que fournit la méthode suivant 

 que les deux systèmes de caractéristiques sont ou non 

 distincts et suivant le nombre des combinaisons inté- 

 grables que présente chacun d'eux. Comme dans les 

 Leçons sur l' intégration des équations aux dérivées par- 

 tielles du premier ordre, il s'attache, avec Sophus Lie, à 

 donner, de la notion de caractéristique et du problème 

 môme de l'intégration, des définitions invariantes au 

 point de vue de la théorie des transformations de con- 

 tact, et cette théorie lui permet de donner aux conclu- 

 sions des formes pai-ticulièrenieut frappantes et 

 simples. 



Le chapitre se termine par l'exposé de la méthode 

 d'Ampère, laquelle conduit, en général, à des calculs 

 identiques à ceux que fournit la méthode de Monge, 

 nuiis a l'avantage de s'appliquer à certaines équations 

 pour lesquelles celle-ci est en défaut ; c'est ce qui arrive 

 pour l'équation aux dérivées partielles des surfaces 

 minima. La résolution du problème de Cauchy, pré- 

 sentée d'une façon générale pour les équations linéaires 

 en r, s, t, ne contenant pasles variablesindépendantes, 

 conduit, pour les surfaces minima, aux formules 

 mêmes de M. Schwartz. 



L'auteur applique ensuite la méthode générale à un 

 certain nombre d'exemples. 11 traite, en particulier du 

 problème de la représentation sphérifjue, lequel dé- 

 pend toujours d'une équation de Monge ; cette équation 

 n'admet d'ailleurs d'intégrale intermédiaire que si les 

 lignes de courbure sont planes dans un système. 



' On tombe également sur des équations de même 

 forme, ainsi que l'avait montré l'auteur dans des mé- 

 moires précédents, quand on cherche les extensions 

 possibles de la méthode qui convient aux équations de 

 Clairaut, et aussi quand on cherche à déformer une 

 surface de manière qu'une série de sections planes 

 parallèles conserve celte double propriété. 



Après avoir, comme dernière application, recherché 

 les équations pour lesquelles les caractéristiques sont 

 des lignes asymptotiques, ou des lignes de courbure, 

 ou plus généralement des lignes conjuguées, l'auteur 

 retourne à la théorie générale et l'étend aux équations 

 quelconques, mais non sous sa forme primitive. Il faut, 

 cette fois, considérer les caractéristiques comme des 

 séries d'éléments dont chacun est constitué, non plus 

 seulement par un système de valeurs dex, y, z,p,q, mais 

 par un système de valeurs x, y, z, p, q, r, s, /, (éléments 

 de contact du second ordre). 



L'auteur montre les relations qui existent entre ces 

 caractéristiques du second ordre et les caractéristiques 

 du premier ordre des équations de Monge et d'Ampère. 

 Chaque caractéristique du premier ordre fait partie 

 d'une infinité do caractéristiques du second ordre 

 dépendant d'une constante arbitraire, sauf dans le cas 

 où les caractéristiques sont confondues. 



Plus généralement, on peut considérer, sur une 

 surface intégrale, l'élément de contact d'ordre n (détini 

 par l'ensemble des valeurs des variables et des dérivées 

 jusqu'à l'ordre n) et définir les caractéristiques d'ordre n. 

 Chaque caraclérislique d'ordre n est en général conte- 

 nue dans une infinité de caractéristiques d'ordre n-\- i, 

 dépendant d'une constante arbitraire. 



Les éipiationsquiont des caractéristiques du premier 

 ordre se <listinguent par cette propriété qu'une infinité 

 de sufaces intégrales peuvent être tangentes le long 



