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BIBLIOGRAPHIE ~ ANALYSES ET INDEX 



BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1° Sciences mathématiques 



Appcll (Paul), Membre de l'Institut, Professeur à la 

 Faculté des Sciences de Paris et Laeour (H), Maître de 



■ Conférences à la Faculté des Sciences de Nancy. — 

 Principes de la Théorie des Fonctions elliptiques 

 et Applications. — 1 vol. t/i-8» de 421 pages. {Prix : 

 i2 fr.} Gauthier-Villars et fils, éditeurs. Paris, 1S97. 



Ainsi f|u'H.'ilphen le prédisait, il y a une dizaine d'an- 

 nées, dans la prélace de son grand Traité, la théorie 

 des fonctions eiiipliques, après être restée longtemps 

 un domaine réservé aux seuls mathématiciens, com- 

 mence à être considérée comme faisant partie de l'en- 

 semble des notions que doivent nécessairement acqué- 

 rir ceux mêmes qui n'envisaijent les Malhéinatiques 

 que pour leurs applications. 



Les fondions elliptiques n'offrent d'ailleurs pas poui' 

 ceux-ci le seul intérêt résultant de leur ulilité propre 

 — pourtant point négligeable — dans nombre d'appli- 

 calions variées. 



Si, pendant un si long temps, les Mathématiques onl, 

 en quelque sorte, évolué dans le même cercle, cela a 

 tenu à ce que, limitée aux seules formes que l'Algèlire 

 et la Trigonométiie élémentaires avaient introduites 

 dans l'usage courant, l'idée primordiale de fonction u a 

 pas tout d'aboi'd pris la pleine extension dont elle est 

 susceptible. Il a fallu les profondes recherches des 

 géomètres modernes, dont le point de départ se ren- 

 contre dans les immortelles découvertes de Caucliy el 

 de Riemann, pour agiandir cette notion, pour la déga- 

 ger des entraves qui lui étaient imposées par un mode 

 imparfait de représentation analytique, pour mettre en 

 pleine lumière les propriétés essentielles qui s'y rat- 

 tachent. 



La nature intime d'une fonction e>t caractérisée par 

 ce qu'on appelle ses singularités. C'est l'espèce et c'est 

 la distribution de ces singularités qui fournissent la 

 base d'une classitication normale, on peut même dire 

 naturelle des fonctions. A un type de fonction détini 

 par des singularités données on peut faire correspondre 

 un mode de représentation analytique ramenant, à un 

 degré d'approximation voulu, le calcul des valeurs 

 prises par une telle fonction dans un certain domaine, 

 à des opérations portant sur les fonctions élémentaii'es 

 depuis longtem(>s connues. 



Nul ne saurait, dans l'avenir, se tlatler de faire pro- 

 gresser les applications des sciences mathématiques 

 s'il ne procède pas do ce point de départ. 



Or, l'exeniple l(> plus simple, après les fonctions pure- 

 ment éléinenlaiies, de fonctions définies par la nalure 

 et la distribulioii de leurs singularités, est précisément 

 fourni par les fonctions ellipti<(ues. Leur élude, outre 

 son intérêt intrinsèque, offre donc l'inappréciable 

 avantage d'ouvrir à l'esprit de larges horizons en syn- 

 thétisant, d'une part, une foule de notions acquises peu 

 à peu dans les éléments et qui gagnent en netteté en 

 venantse grouper autour de quelques idées maîtresses, 

 en déchirant, d'autre part, les voiles qui cachent à un 

 <!sprit uniquement confiné dans les anciennes théories 

 les voies dans lesquelles se développent les Matliéma- 

 tif[ues modernes. 



Une des raisons ([ui ont longtemps fait obstacle à la 

 pleine diffusion de la Théorie des fondions elliptii|ues 

 tient, sans doute, à la diversité non moins qu'à la mul- 

 liplicité des notations qui y ont été introduites. Oufie, 

 en effet, que les désignations de fonctions particulières 

 ont été proposées, dans ce domaine, bien au deli des 

 stricts besoins, les mêmes fonctions se sont trouvées 



correspondre, sous la plume de divers auteurs, à des 

 signes tout différents. 



Il est facile, après les observations d'ordre général 

 qui précèdent, de faire ressortir le caractère du livre 

 i[ue MM. Appell et Laeour offrent aujoiu'd'hui an public. 

 D'une part, en effet, tout en restant aussi élémenl aires 

 qu'il est possible en ces matières, c'est par la didiui- 

 lion des singularités, joiuti' a la propriété do la dcuilde 

 périodicité, qu'ils inliuduisent la notion des fonctions 

 ellipti([ues, ce qui est assurément la manière la moins 

 factice; de l'autre, non contents de s'interdire l'adop- 

 tion de toute notation nouvelle, ils se sont efforcés, 

 parmi les systèmes si nombreux r|ui ont été proposés, 

 de ne conserver que ce qui leur a pain strictement 

 indispensable. 



Deux systèmes principaux de notations .'ont ici en 

 présence : celui de Jacobi, adopté par M. Hermite dans 

 ses belles recherches, et le système, plus récent, de 

 M. W'eierstrass, qui, pour des raisons très sérieuses, a 

 gagné la faveur de la plupart des géomètres contem- 

 porains. M.V1. .Vppell et Laeour, faisant preuve d'un 1res 

 opportun éclectisme, n'ont pas cru devoir sacrifier 

 complètement l'un à l'autre, tout en ne prenant à cha- 

 cun d'eux que juste ce i[ui est nécessaire. Selon le cas, 

 (Ml effet, les deux oidres de notations pi;uvent avoir 

 leurs avantages; eu oulrr, loute personne s'intéressant 

 aux fonctions idlipli(|ues doit être en état de lire les 

 travaux rédigés à l'aide de l'un ou de l'autre système. 



Il nous suffira, après ce qui précède, d'indiquer très 

 sommairement le plan général de l'ouvcdge. 



En raison de ce que peut avoir de nouveau pour 

 l'esprit d'un étudiant, seulement nourri des éléments, 

 la marche adoptée dans l'élude des fonctions (dlipti- 

 ques, les auteurs établissent par cette même marrhe, 

 (ians un premier chapitre, les propriétés essentielles 

 des fonctions rationnelles et Irigonométriques. 



Cette préparation une fois faite, ils abordent le sujel 

 principal avec les notations de M. Weierstiass, et don- 

 nent à cette occasion un exposé complet do la Théorie 

 (■('■duife à ses traits essentiels. La lecture de ce ^eul 

 chapitre pourrait, à la rigueur, suffire à quiconque 

 voudrait, sans se soucier des applications, se faire une 

 idée nette de la Théorie. — Le même exposé est repris 

 ensuite avec les notations de Jacobi. 



Mais, pour une étude faite à loisir, il est bon d'éclai- 

 rer, dès que faire se peut, la Théorie par des exemples. 

 (Test pourquoi l'exposé théorique se trouve entrecoupé 

 de chapitres consacrés aux applications. Le chapitre UI, 

 avec les notations de Weierstra-s, le chapitre V, avec 

 celles de Jacobi, traitent d'applications correspondant 

 au cas oii l'une des périodes est réelle, l'autre pure- 

 ment imaginaire, l'n chapitre spécial est réservé au 

 cas oîi les deux périodes sont imaginaires conjuguées. 

 Ces applications, empruntées à la Géométrie et à la 

 Mécanique, sont variées, intéressantes on elles-mêmes; 

 les calculs y .sont poussés à fond. 



Les intégrales elliptiques, c'est-à-dire celles (|ui s'rl- 

 fect>ient au moyen des fonctions eiiipliques, et à l'oc- 

 casion drs(inelles d'ailleurs la notion même de ces 

 fondions a pris naissance, sont étudiées dans les deux 

 systèuu's de notations. Les applications viennent immé- 

 diatement à la suite. La mise en nombres des formules 

 ellipti(|ues est réservée au chapitre X, où elle est réso- 

 lue par la transformation de Landen. 



Le reste de l'ouvrage est consacré h. des fcuictions 

 ([ui généralisent les fonctions tdliptiques en i)lusieurs 

 sens. Ce sont les fonctions à mulliplicaleuis constants 

 (fonctions doublement périodi(|ues de ileuxiènie espèce 

 de M. Hermite}, les fonctions à ruuiliplicateurs expo- 



