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EMILE PICARD — L'ŒUVRE MATHÉMATIQUE DE E. GALOIS 



vanl rol)iel de nombreuses recherches, dues, pour 

 la plupart, à Cauchy, qui avait introduit déjà cer- 

 tains éléments de classification ; les éludes de 

 Galois, sur la Théorie des équations, lui mon- 

 trèrent rimportance de la nolion de sous-groupe 

 invariant d'un groupe donné, et il fut ainsi conduit 

 à partager les groupes en groupes simples et 

 groupes composés, distinction fondamentale qui 

 dépasse de beaucoup, en réalité, le doniaine de 

 l'Algèbre et s'étend au concept de groupes d'opé- 

 rations dans son acception la plus étendue. 



Les théories générales, pour prendre dans la 

 Science un droit de cité définitif, ont le plus souvent 

 besoin de s'illustrer par des applications particu- 

 lières. Dans plusieurs domaines, celles-ci ne sonl 

 pas toujours faciles à trouver, et l'on pourrait citer, 

 dans les Mathématiques modernes, pliis d'une 

 théorie confinée, si j'ose le dire, dans sa trop 

 grande généralité. Au point de vue artistique, qui 

 joue un rôle capital dans les Mathématiques pures, 

 rien n'est plus satisfaisant que le développement 

 de ces grandes théories; mais cependant de bons 

 esprits regrettent celte tendance, qui a peut-être 

 ses dangers. On ne peut, pour Galois, émettre un 

 pareil regret : la résolution algébrique des équa- 

 tions lui a fourni, dès le début, un champ particu- 

 lier d'applications où le suivirent depuis de nçm- 

 breux géomètres, parmi lesquels il faut citer au 

 premier rang M. Camille Jordan. 



III 



Les travaux de Galois, sur les équations algé- 

 briques, ont rendu son nom célèbre, mais il semble 

 qu'il avait fait, en Analyse, des découvertes au 

 moins aussi importantes. Dans sa lettre à Auguste 

 Chevalier, écrite la veille de sa mort, Galois parle 

 d'un Mémoire qu'on pourrait composer avec ses 

 recherches sur les intégrales. Nous ne connaissons 

 de ces recherches que ce qu'il en dit dans cette 

 lettre; plusieurs points restent obscurs dans quel- 

 ques énoncés de Galois, mais on peut cependant se 

 l'aire une idée précise de quelques-uns des résul- 

 tats auxquels il était arrivé dans la théorie des 

 intégrales de fonctions algébriques. On acquiert 

 ainsi la conviction qu'il était en possession des 

 résultats les plus essentiels sur les intégrales abé- 

 liennes, queRiemann devait obtenir vingt-cinq ans 

 plus tard. Nous ne voyons pas sans élonnement 

 Galois parler des périodes d'une intégrale abélienne 

 relative à une fonction algébrique quelconque; 

 pour les intégrales hyperellipliques, nous n'avons 



aucune difficulté à comprendre ce qu'il entend par 

 période^ mais il en est autrement dans le cas géné- 

 ral, et l'on est presque tenté de supposer que 

 Galois avait tout au moins pressenti certaines 

 notions sur les fonctions d'une variable complexe, 

 qui ne devaient être développées ([ue plusieurs 

 années après sa mort. Les énoncés sont précis; l'il- 

 lustre auteur fait la classification en trois espèces 

 des intégrales abéliennes, et affirme que, si ti dé- 

 signe le nombre des intégrales de première espèce 

 linéairement indépendantes, les périodes seront 

 en nombre 2/?. Le théorème relatif à l'inversion du 

 paramètre et de l'argument dans les intégrales 

 de troisième espèce est nettement indiqué, ainsi que 

 les relations entre les périodes des intégrales abé- 

 liennes; Galois parle aussi d'une généralisation de 

 l'équation classique de Legendre, où figurent les 

 périodes des intégrales elliptiques, généralisation 

 qui l'avait probablement conduit à l'importante 

 relation découverte depuis par Weierstrass et par 

 M. Fuchs. Nous en avons dit assez pour montrer 

 l'étendue des découvertes de Galois en .\nalyse; si 

 quelques années de plus lui avaient été données 

 pour développer ses idées dans cette direction, il 

 aurait été le glorieux continuateur d'Abel et aurait 

 édifié, dans ses parties essentielles, la théorie des 

 fonctions algébriques d'une variable lelle que nous 

 la connaissons aujourd'hui. Les méditations de 

 Galois portèrent encore plus loin; il termine sa 

 lettre en parlant de l'application à l'Analyse trans- 

 cendante de la théorie de l'ambiguilc. On devine à 

 peu près ce qu'il entend par là, et sur ce terrain, 

 qui, comme il le dit, est immense, il reste encore 

 aujourd'hui bien des découvertes à faire. 



Ce n'est pas sans émotion que l'on achève la lec- 

 ture du testament scientifique de ce jeune homme 

 de vingt ans, écrit la veille du jour où il devait dis- 

 paraître dans une obscure querelle. Sa mort fut 

 pour la Science une perte immense; rinHuenoe de 

 Galois, s'il eût vécu, aurait grandement modifié 

 l'orientation des recherches mathématiques dans 

 notre pays. Je ne me risquerai pas à des compa- 

 raisons périlleuses: Galois a sans doute des égaux 

 parmi les grands mathématiciens de ce siècle, 

 aucun ne le surpasse par l'originalité et la profon- 

 deur de ses conceptions '. 



Emile Picard, 



Membre de l'Ai-aïk-iiiie des Sciences, 

 Professeur de Calcul djfl'érentiel et intiigral 

 à la Sorbonne. 



' Cet article constituera la préface à la prochaine édition 

 des OEuvres de Galois. (iN. de la litu.) 



