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BIBLIOGRAPHIE — ANALYSES ET INDEX 



BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1° Sciences mathématiques 



Picard (Emile), Membre de iInstUut, Professeur d'Ana- 

 lyse à la Faculté des Sciences. — Traité d'Analyse. 

 Tome III. — 1 vol. gr. in-S" de S80 pages. {Prix : 

 18 fr.) Gaulhier-ViUarset fds, édileurs. Paris, 1897. 



Le tome lll du Traité d\inalijse de M. Picard est 

 presque exclusivement consacré aux équations diffé- 

 rentielles. « J'ai eu pour but, dit l'auteur dans sa pré- 

 face, d'exposer quelques-unes des questions qui inté- 

 ressent particulièrement aujourd'hui les analystes el, 

 dont l'élude peut être utilement poursuivie. » En disant 

 que ce but est atteint de la manière la plus heureuse, 

 ou ne peut faire de l'ouvrage un plus grand éloge. 

 Choisir, dans les parties essentielles et neuves de la 

 doctrine des équations différentielles, des questions 

 variées, les dét;ager des obscurités qui semblent inhé- 

 rentes aux théories en formation, orienter ainsi le lec- 

 teur dans les principales directions suivant lesquelles 

 se développe la science, c'est, en de telles matières, 

 l'objet le plus utile d'un livre didactique, en même 

 temps que le plus difficile à remplir. 



Les théorèmes d'existence des intégrales d'un sys- 

 tème dilTérentiel ont été établis dans les tomes précé- 

 dents, en supposant les conditions initiales régulières. 

 (Juand ces conditions sont singulières, M. Poincaré, en 

 se bornant au cas à la fois le plus général et le plus 

 -iiii|il<'. ;i oliU'uu des résultats de la plus haute portée. 

 Ce K siili.iis forment la matière du premier chapitre. 

 I.cui applhation au premier ordre permet d'approfon- 

 dir et de compléter la discussion de Briot et Bouquet. 

 Vientenlin une élégante théorie des intégrales singulières. 

 La nature des intégrales étant ainsi élucidée dans le 

 voisinage des valeurs initiales, comment poursuivre 

 leur étude dans un domaine quelconque? C'est là un 

 problème qui peut être traité à deux points de vue : au 

 point de vue analytique (en donnant à la variable des 

 valeurs complexes), et au point de vue réel. A ces deux 

 points de vue correspondent deux sections considé- 

 rables de l'ouvrage. 



L'étude du domaine réel, longtemps négligée, n'a été 

 leprise que dans ces dernières années, sous l'influence 

 <les travaux de M. Poincaré et de M. Picard. Tous les 

 esprits qui ne veulent pas réduire les mathématiques à 

 une science de pure curiosité, doivent désirer que cette 

 étude soit désormais poursuivie assidiiment. C'est donc 

 . un véritable service que M. Picard a rendu à l'Analysi^ 

 en rassemblant, sous une forme systématique, les prin- 

 <ipaux résultats obtenus jusqu'ici dans cette voie. 



Trois chapitres sont d'abord consacrés aux travaux 

 'lien connus de l'auteur sur les équations réelles du 

 second ordre, dont l'intégrale est définie par ses va- 

 leurs pour deux valeurs numériques de la variable. De 

 telles conditions aux limites se rencontrent dans un 

 i^rand nombre d'applications naturelles. L'élégance de- 

 là méthode, l'importance et la netteté des résultats foiil 

 de cette partie du livre une des plus attrayantes. 

 Signalons, notamment, la discussion de l'équation : 



—H ^= K(x)y. Cette discussion rigoureuse met en évi- 

 te' 



dence des particularités bien remarquables qui se 

 représentent, sous une forme plus compliquée, eu 

 Acoustique, dans la théorie des sons fondamentaux. 



Les trois cha|iitres suivants traitent de la théorie des 

 intéarales réelles, d'après M. Poincaré : solutions pé- 

 riodiques, asyMq)l(itiques; courbes définies par un 

 -ystème difiérentiel, etc. Ces travaux de M. Poincaré 

 sjnt l'effort le plus vigoureux qu'on ail encore tenté 



pour découvrir, sur les équations difiin-entielles, les 

 propriétés qualitatives et quantitatives de leurs inté- 

 grales réelles. Mais ils se prêtent mal, par leur nature 

 même, à un exposé didactique. Aussi ne saurait-on 

 trop louer la perfection de forme que M. Picard a 

 donnée à ces quelque cent pages de son traité. L'exis- 

 tence des solutions périodiques, celle des solutions 

 asymplotirjues, sont établies par des méthodes extrê- 

 mement simples. Les notions fondamentales de cycles 

 limites, d'indice de cycle, etc., sont introduites dans le 

 cas du premier ordre, cas très élémentaire il est vrai, 

 mais qui fait bien ressortir leur nature et leur portée. 

 Il convient d'indiquer, comme appartenant en propre 

 à l'auteur, la discussion des points singuliers réels d'une 

 équation du premier ordre non résolue en y , ainsi que 

 la détermination, dans tout leur domaine réel, des 

 intégrales de certains systèmes différentiels : ces sys- 

 tèmes comprennent notamment les équations du mou- 

 vement d'un solide pesant fixé par un point. 



Quant à la théorie analytique des équations différen- 

 tieîles, elle n'occupe pas moins de huil chapitres. Si l'on 

 excepti' iiiir élude succiucte des équations du premier 

 ordre à |ioinls critiques fixes et de certaines équations 

 du second ordre qui généralisent les équations de Briol 

 et Bouquet, c'est aux équations linéaires, dont la 

 théorie est aujourd'hui poussée si avant, que s'est atta- 

 ché l'auteur. Un substantiel exposé des propositions 

 fondamentales relatives à ces équations, à leurs singu- 

 larités, à leur ;,'roupr, est suivi d'une application aux 

 fonctions In prri;(''nnii'lriques (chapitre XII), lesquelles 

 conduisent iialurellcmenl aux fonctions de IM. Schwarz 

 (Chapitre Xlll) : une fois établies les propriétés fonda- 

 mentales de ces fonctions, et notamment de la fonction 

 modulaire, M. Picard est en état de démontrer dans 

 toute sa généralité son célèbre théorème sur les zéros 

 des fonctions uniformes, théorème dont il indique 

 quelques applications. La lecture de ce chapitre XIII 

 sera des plu^ ulilcs à ceux qui veulent s'initier aux 

 propriétés des funitidiis fuchsiennes. 



Les intégrales irré.gw/7«-e.s des équations linéaires ont 

 été, dans ces dernières années, l'objet de numbreux 

 travaux qui ne pouvaient être négligés ici. t'n chapitre 

 résume les ré-sultals <le M. Thomé et de M. Poincaré sur 

 les inléi,'ralrs iiiéi;nli('res à l'infini et leur représenta- 

 tion asym|itilique d('duite de la méthode de Lajdace. 



Enfiii, après une revision rapide des principales 

 classes d'équations linéaires intégrables (en particulier, 

 des équations à coefficients doublement périodiques 

 connues sous le nom d'équations de M. Picard), l'au- 

 teur aborde, dans sa généralité, le problème de la 

 réduction des équations linéaires. La profonde analogie 

 qui existe entre les éiiuations algébriques et les équa- 

 tions linéaires a été, depuis longtemps, mise en évi- 

 dence par M. Picard, el c'est celle analogie qui a servi 

 de point de départ aux brillantes recherches de .M. Ve.s- 

 siot sur rintégrabilité des équations linéaires. Deux 

 chapilri's parallèles, l'un sur la théorie des équations 

 alsébri(|ms d'après Galois, l'autre sur la théorie des 

 équaliiins linéaires, font ressortir avec une rare netteté 

 la parfaite symétrie des deux théories et constituent 

 un exposé magistral de la doctrine de la réductibilité 

 des équations différentielles linéaires. 



Par sa profondeur el sa diversité, comme par sa 

 lumineuse élégance, le livre que nous venons d ana- 

 lyser brièvement est appelé à provoquer de fécondes 

 recherches dans tous les domaines auxipiels il louche 

 et dont un grand nombre ont été ouverts par l'auteur. 

 Paul Painlf.vé, 



Profcsscuv-adjoiiit * la Sorbonne. 



