H. POINCARÉ — LES IDÉES DE HERTZ SUR LA .MÉCANIQUE 



§ 2. — Ot)jeetion de la Boule. 



La dernière objection, qui paraît être celle qui 

 a le plus frappé Hertz, est d'une nature un peu dif- 

 férente. 



On sait ce qu'on appelle un système à liaisons; 

 imaginons d'abord deux points réunis par une 

 tringle rigide de façon que leur distance soit main- 

 tenue invariable ; ou, plus généralement, supposons 

 qu'un mécanisme quelconque maintienne une rela- 

 tion entre les coordonnées de deux ou plusieurs 

 points du système. C'est là une première sorte de 

 liaison qu'on appelle « liaison solide ». 



Supposons maintenant qu'une sphère soit assu- 

 jettie à rouler sur un plan. La vitesse du point de 

 contact doit être nulle ; nous avons donc une 

 seconde sorte de liaison qui s'exprime par une 

 relation non plus seulement entre les coordonnées 

 des divers points du système, mais entre leurs 

 coordonnées et leurs vitesses. 



Les systèmes où il y a des liaisons de la seconde 

 sorte jouissent d'une propriété curieuse que je 

 vais chercher à expliquer sur l'exemple simple 

 que je viens de citer, celui d'une boule roulant sur 

 un plan horizontal. 



Soit un point du plan horizontal et C le centre 

 de la sphère. 



Pour bien définir la situation de la sphère mo- 

 bile, je prendrai trois axes de coordonnées fixes 

 Ox, 0;/ et Oj, les deux premiers situés dans le 

 plan horizontal sur lequel roule la sphère ; et trois 

 axes de coordonnées invariablement liées à la 

 sphère C5, Cv) et C^. 



La situation de la sphère sera entièrement définie 

 quand on se donnera les deux coordonnées du 

 point de contact et les neuf cosinus directeurs des 

 axes mobiles par rapport aux axes fixes. Soit A 

 une position de la sphère où le point de contact 

 est en à l'origine et où les axes mobiles sont 

 parallèles aux axes fixes. 



Les coordonnées du point de contact sont : 



.(■ = ; 1/ = 

 et les neuf cosinus directeurs : 



Donnons à la sphère une rotation infiniment 

 petite £ autour de l'axe C^; elle viendra dans une 

 position B où les coordonnées du point de contact 



deviennent : 



^ = 0, y = u 



et les neuf cosinus : 



1 



cos e sin s 



U — sin £ cos s 



Mais cette rotation est impossible puisqu'elle 

 ferait glisser et non rouler la sphère sur le plan. H 

 est donc impossible de passer de la position A à la 

 position infiniment voisine B direclemenl, c'est-à- 

 dire par un mouvement infiniment petit. 



Mais nous allons voir que ce passage peut se 

 faire indirectement, c'est-à-dire par un mouvement 

 fini. 



Partons de la position A. Faisons rouler la sphère 

 sur le plan de telle façon que l'axe instantané de 

 rotation soit situé dans le plan horizontal et à 

 chaque instant parallèle à Taxe Oy, et arrêtons- 

 nous quand l'axe C? sera devenu vertical et paral- 

 lèle à 0:. Nous serons arrivés dans une position D 

 où les coordonnées du point de contact seront de- 

 venues : 



■i- = I R, 2/ = 



R étant le rayon de la sphère et les neuf cosinus : 



Dans la position D le point de contact est à 

 l'extrémité de l'axe G; qui est vertical. 



Imprimons à la sphère une rotation t autour de 

 l'axe C;; cette rotation est un pivotement autour de 

 l'axe vertical passant par le point de contact, elle 

 ne comporte aucun glissement, elle est donc com- 

 patible avec les liaisons. 



La sphère est venue alors dans une position E où 

 les coordonnées de contact sont : 



■='-H. y = U, 



et les cosinus : 



cos £ 

 sin £ 



Faisons maintenant rouler la sphère de façon 

 que l'axe instantané de rotation reste constamment 

 parallèle à 0;/ et, par conséquent, que le contactait 

 tout le temps lieu sur l'axe Ox. Arrêtons-nous quand 

 le point de conjact sera revenu à l'origine 0. Il est 

 aisé de voir que nous sommes arrivés à la posi- 

 tion B. 



On peut donc aller de la position A à la position 

 B en passant par l'intermédiaire des positions D 

 et E. 



Hertz appelle holonomes les systèmes tels que, si 

 les liaisons ne permettent pas de passer directe- 

 ment d'une certaine position à une autre infiniment 

 voisine, elles ne permettent pas non plus de passer 

 de l'une à l'autre indirectement. Ce sont les sys- 

 tèmes où il n'y a que des liaisons solides. 



On voit que notre sphère n'est pas un système 

 holonome. 



Or, il arrive ceci que le principe de moindre ac- 



