H. POINCAIJK — LES IDKlîS DE HEItTZ SUR LA MÉCANIQUE 



741 



lion n'est pas applicable aux systèmes non holo- 

 nomes. 



En ofTet, on peut passer de la position A ti la po- 

 sition R par le chemin que je viens de dire, et sans 

 doute par beaucoup d'autres chemins; parmi tous 

 ces cliemins il y en a évidemment un qui corres- 

 pond à une action plus petite que tous les autres; 

 hi sphère devrait donc pouvoir le suivre pour aller 

 de A en B; il n'en est rien; quelles que soient les 

 conditions initiales du mouvement, la sphère n'ira 

 jamais de A en B. 



Il y a plus, si là sphère va effectivement de la 

 position A à une autre position A', elle ne prendra 

 pas toujours le chemin qui correspond à l'action 

 minimum. 



Le principe de moindre action n'est plus vrai. 



« Dans ce cas, dit Hertz, une sphère qui obéirait 

 à. ce principe, semblerait un être vivant qui pour- 

 suivrait consciemment un but déterminé, tandis 

 qu'une sphère, qui suivrait la loi de la Nature, 

 otlrirait l'aspect d'une masse inanimée roulant uni- 

 formément Mais, dira-t-on, de semblables liai- 

 sons n'existent pas dans la Nature ; ce prétendu rou- 

 lement sans glissement n'est qu'un roulement avec 

 un petit glissement. Ce phénomène rentre dans les 

 phénomènes irréversibles tels que le frottement, 

 encore mal connus et auxquels nous ne savons -pas 

 encore appliquer les vrais principes de la Méca- 

 nique. 



« Un roulement sans glissement, répondrons- 

 nous, n'est contraire ni au principe de l'énergie ni 

 à aucune des lois connues de la Physique; ce phé- 

 nomène peut être réalisé dans le monde visible avec 

 une telle approximation qu'on a pu s'en servir pour 

 construire les machines d'intégration les plus déli- 

 cates (planimètres, analyseurs harmoniques, etc.). 

 Nous n'avons aucun droit de l'exclure comme 

 impossible; mais le serait-il et ne pourrait-il se 

 réaliser qu'approximativement que les difficultés 

 ne disparaîtraient pas. Pour adopter un principe, 

 nous devons exiger qu'appliqué ;'i un problème 

 dont les données sont approximalivenienc exactes, 

 il donne aussi des résultats approximativement 

 exacts. El d'ailleurs les autres liaisons, les liaisons 

 solides ne sont aussi qu'approximativement réali- 

 sées dans la Nature; on ne les exclut pas cepen- 

 dant... " 



III. — Système Hertzie.v. 



Voici maintenant quel est le système que Hertz 

 propose de substituer aux deux théories qu'il cri- 

 tique. Ce système repose sur les hypothèses sui- 

 vantes : 



1" Il n'y aurait dans la Nature que des systèmes 

 à liaisons, mais soustraits à l'action de toute force 

 extérieure; 



4° Si certains corps nous paraissent obéir à des 

 forces, c'est qu'ils sont lies à d'autres corps qui, 

 pour nous, sont invisibles. 



Un point matériel qui nous semble libre ne dé- 

 crit pas cependant une trajectoire rectiligne; les 

 anciens mécaniciens disaient qu'il s'en écarte parce 

 qu'il est soumis ;i une force; Hertz dit qu'il s'en 

 écarte parce qu'il n'est pas libre, nuiis lié à 

 d'autres points invisibles. 



Celte hypothèse semble étrange au premier 

 abord : pourquoi en dehors des corps visibles 

 introduire des corps invisibles hypothétiques? 

 Mais, répond Hertz, les deux anciennes théories 

 sont obligées également de supposer en dehors 

 des corps visibles, je ne sais quels êtres invisibles ; 

 la théorie classique introduit les forces; la théorie 

 énergétique introduit l'énergie ; mais ces êtres invi- 

 sibles, force et énergie, sont d'une nature inconnue 

 et mystérieuse; les êtres hypothétiques que j'ima- 

 gine sont, au contraire, tout à fait de même nature 

 que les corps visibles. 



N'est-ce pas plus simple et plus naturel? 



On pourrait discuter sur ce point et soutenir que 

 les entités des anciennes théories doivent être rete- 

 nues précisément à cause de leur nature mysté- 

 rieuse. Respecter ce mystère, c'est un aveu d'igno- 

 rance; et puisque noire ignorance est certaine, ne 

 vaut-il pas mieux l'avouer que la dissimuler? 



Mais passons, et voyons quel parti tire Hertz de 

 ses hypothèses. 



Les mouvements des systèmes à liaisons, sans 

 force extérieure, sont régis par une loi unique. 



Parmi les mouvements compatibles avec les liai- 

 sons, celui qui se réalisera sera celui qui sera tel 

 que la somme des masses nmltipliées par le carré 

 des accélérations soit miniuuim. 



Ce principe équivaut à celui delà moindre action 

 si le système est holonome, mais il est plus géné- 

 ral, car il s'applique aussi aux systèmes non holo- 

 nomes. 



Pour bien nous rendre comptede la portée de ce 

 principe, prenons un exemple simple : celui d'un 

 poinlassujetli à se mouvoir sur une surface. Ici nous 

 n'avons qu'un seul point matériel; l'accélération doit 

 doncèlre minimum; pour cela, il faut que l'accélé- 

 ration tangenlielle soit nulle ; or, celte accélération 



est égale à •jT' " étant la vitesse et l le temps; 



donc V est une constante, et le mouvement du 

 point est uniforme; il faut, de plus, que l'accéléra- 



lion normale soil minimum: or elle est égale à —> 



p étant le rayon de courbure de la trajectoire, ou h 



. R étant le rayon de courbure de la section 



Rcostp 



normale à la surface, et o, l'angle du plan oscula- 



