HENRI POINCARÉ — RAPPORTS DE L'ANALYSE ET DE LA PHYSIQUE MATHÉMATIQUE 8:;!» 



taie; ou, si vous aimez mieux, Maxwell a devancé 

 de vingt ans l'expérience. Comment ce triomphe 

 a-t-il été obtenu ? 



C'est que Maxwell était profondément imprégné 

 du sentiment de la symétrie mathématique ; en 

 aurait-il été de même, si d'autres n'avaient, avant 

 lui, recherché cette symétrie pour sa beauté propre? 



C'est que Maxwell était habitué à <i penser en 

 vecteurs », et pourtant, si les vecteurs se sont intro- 

 duits dans l'Analyse^ c'est par la Théorie des Ima- 

 ginaires. Et ceux qui ont inventé les Imaginaires 

 ne se doutaient guère du parti qu'on en tirerait pour 

 l'élude du monde réel; le nom qu'ils leur ont donné 

 le prouve sufhsamment. 



Maxwell, en un mot, n'était peut-être pas un 

 habile analyste, mais cette habileté n'aurait été 

 pour lui qu'un bagage inutile et gênant. Au con- 

 traire, il avait au plus haut degré le sens intime 

 des analogies mathématiques. C'est pour cela qu'il 

 a fait de bonne Physique mathématique. 



L'exemple de Maxwell nous apprend encore 

 autre chose. Comment faut-il traiter les équations 

 de la Physique mathématique? Devons-nous sim- 

 plement en déduire toutes les conséquences, et les 

 regarder comme des réalités intangibles? Loin de 

 là; ce qu'elles doivent nous apprendre surtout, c'est 

 ce qu'on peut elce qu'on doit y changer. C'est comme 

 cela que nous en tirerons quelque chose d'utile. 



Le troisième exemple va nous montrer comment 

 nous pouvons apercevoir des analogies mathéma- 

 tiques entre des phénomènes qui n'ont physique- 

 ment aucun rapport ni apparent, ni réel, de telle 

 sorte que les lois de l'un de ces phénomènes nous 

 aident à deviner celles de l'autre. Une même équa- 

 tion, celle de Laplace, se rencontre dans la théorie 

 de l'attraction newtonienne, dans celle du mouve- 

 ment des liquides, dans celle du potentiel électri- 

 que, dans celle du magnétisme, dans celle de la 

 propagation de la chaleur et dans bien d'autres 

 encore. Qu'en résulle-t-il? Ces théories semblent 

 des images calquées l'une sur l'autre; elles s'éclai- 

 rent mutuellement, en s'empruntant leur langage; 

 demandez aux électriciens s'ils ne se félicitent pas 

 d'avoir inventé le mot de « llux de force », suggéré 

 par l'Hydrodynamique, et la théorie de la Chaleur. 



Ainsi, les analogies mathématiques, non seule- 

 ment peuvent nous faire pressentir les analogies 

 physiques, mais encore ne cessent pas d'être utiles, 

 quand ces dernières font défaut. 



En résumé, le but de la Physique mathématique 

 n'est pas seulement de faciliter au physicien le 

 calcul numérique de certaines constantes ou l'in- 

 tégration de certaines équations différentielles. Il 

 est encore, il est surtout de lui faire connaître 

 l'harmonie cachée des choses en les lui faisant voir 

 d'un nouveau biais. 



De toutes les parties de l'Analyse, ce sont les 

 plus élevées, ce sont les plus pures, pour ainsi dire, 

 qui seront les plus fécondes entre les mains de 

 ceux qui savent s'en servir. 



III 



Voyons maintenant ce que l'.Vnalyse doit à la 

 Physique. 



11 faudrait avoir complètement oublié l'histoire 

 do la science pour ne pas se rappeler que le désir 

 de connaître la Nature a eu sur le développement 

 des .Mathématiques l'intluence la plus constante et 

 la plus heureuse, 



En premier lieu, le physicien nous pose des pro- 

 blèmes dont il attend de nous la solution. En nous 

 les proposant, il nous a payé largement d'avance 

 le service que nous pourrons lui rendre, si nous 

 parvenons aies résoudre. Si l'on veut me permettre 

 de poursuivre ma comparaison avec les Beaux-Arts, 

 le mathématicien pur qui oublierait l'existence du 

 monde extérieur, serait semblable à un peintre 

 qui saurait harmonieusement combiner les couleurs 

 et les formes, mais à qui les modèles feraient dé- 

 faut. Sa puissance créatrice serait bientôt tarie. 



Les combinaisons que peuvent former les nom- 

 bres et les symboles forment une multitude infinie. 

 Dans celte multitude, comment choisirons nous 

 celles qui sont dignes de retenir notre attention? 

 Nous laisserons-nous uniquement guider par notre 

 caprice? Ce caprice, qui, lui-même, d'ailleurs, ne 

 tarderait pas à se lasser, nous entraînerait sans 

 doute bien loin les uns des autres et nous cesse- 

 rions promptement de nous entendre entre nous. 



Mais ce n'est là que le petit côté de la question. 

 La Physique nous empêchera sans doute de nous 

 égarer, mais elle nous préservera aussi d'un dan- 

 ger bien plus redoutable: elle nous empêchera de 

 tourner sans cesse dans le même cercle. L'hi.stoire 

 le prouve, la Physique ne nous a pas seulement 

 forcés de choisir entre les problèmes qui se pré- 

 sentaient en foule: elle nous [en a imposé auxquels 

 nous n'aurions jamais songé sans elle. Quelque va- 

 riée que soit l'imagination de Thomme, la Nature 

 est mille fois plus riche encore. Pour la suivre, 

 nous devons prendre des chemins que nous avions 

 négligés, et ces chemins nous conduisent souvent 

 à des sommets d'oîi nous découvrons des paysiiges 

 nouveaux. 



Quoi déplus utile! Il en est des symboles mathé- 

 matiques comme des réalités physiques; c'est en 

 comparant les aspects différents des choses que 

 nous pourrons en comprendre l'harmonie intime, 

 qui seule est belle et par conséquent digne de nos 

 efforts. 



Le premier exemple que ie citerai est tellement 



