800 HENRI POmCAEÉ — RAPPORTS DE L'ANALYSE ET DE LA PHYSIQUE MATHÉMATIQUE 



ancien qu'on sérail tenté de l'oublier; il n'en est 

 pas moins le plus important de tous. Le seul objet 

 naturel de la pensée mathématique, c'est le nom- 

 bre entier. C'est le monde extérieur qui nous a im- 

 posé le continu, que nous avons inventé sans doute, 

 mais qu'il nous a forcés à inventer. Sans lui, il n'y 

 aurait pas d'Analyse infinitésimale; toute la science 

 mathématique se réduirait à l'Arithmétique ou à la 

 Théorie des substitutions. 



Au contraire, nous avons consacré à l'étude du 

 continu presque tout notre temps et toutes nos 

 forces. Qui le regrettera? qui croira que ce temps 

 et ces forces ont été perdus? 



L'Analyse nous déroule des perspectives infinies 

 que l'Arithmétique ne soupçonne pas; elle nous 

 montre d'un coup d'œil un ensemble grandiose, 

 dont l'ordonnance est simple et symétrique; au 

 contraire, dans la théorie des nombres, où règne 

 l'imprévu, la vue est pour ainsi dire arrêtée à 

 chaque pas. 



Sans doute, on vous dira qu'en dehors du nombre 

 entier, il n'y a pas de rigueur, et par conséquent 

 pas de vérité mathématique; que partout il se 

 cache, et qu'il faut s'eflorcer de rendre transpa- 

 rents les voiles qui le dissimulent, dût-on pour 

 cela se résigner à d'interminables redites. Ne soyons 

 pas si puristes et soyons reconnaissants au continu, 

 qui, si tout sort du nombre entier, était seul capa- 

 ble d'en faire tant sortir. 



Ai-je besoin, d'ailleurs, de rappeler que M. Her- 

 mite a tiré un parti surprenant de l'introduction 

 des variables continues dans la théorie des nom- 

 bres? Ainsi, le domaine propre du nombre entier 

 est envahi lui-même, et cette invasion a rétabli 

 l'ordre là où régnait le désordre. Voilà ce que 

 nous devons au continu et par conséquent à la Na- 

 ture physique. 



La série de Fourier est un instrument précieux 

 dont l'analyste fait un usage continuel; mais si 

 Fourier l'a inventée, c'est pour résoudre un pro- 

 blème de Physique; si ce problème ne s'était posé 

 naturellement, on n'aurait jamais osé rendre au 

 discontinu ses droits; on aurait longtemps encore 

 regardé les fonctions continues comme les seules 

 fonctions véritables. 



La notion de fonction s'est par là considérable- 

 ment étendue et a reçu de quelques analystes logi- 

 ciens un développement imprévu. Ces analystes se 

 sont ainsi aventurés dans des régions où règne 

 l'abstraction la plus pure et se sont éloignés, au- 

 tant qu'il est possible, du monde réel. C'est cepen- 

 dant un problème de Physique qui leur en a fourni 

 l'occasion. ' 



Derrière la série de Fourier, d'autres séries ana- 

 logues sont entrées dans le domaine de l'Analyse; 

 elles y sont e;::rées par la même porte; elles ont 



été imaginées en vue des applications. Il me suf- ♦ 

 fira de citer celles qui ont pour éléments les fonc- 

 tions sphériques ou les fonctions de Lamé. 



La théorie des équations aux dérivées partielles 

 du second ordre a eu une histoire analogue : elle 

 s'est développée surtout par et pour la Physique. 

 Si les analystes s'étaient abandonnés à leurs ten- 

 dances naturelles, voici probablement comment ils 

 auraient envisagé ces équations, et comment ils 

 auraient choisi les conditions aux limites: 



Supposons, par exemple, une équation entre 



deux variables r et y et une fonction F de ces deux 



dF 

 variables. Ils se seraient donné F et -v- pour x = 0. 



C'est ce qu'a fait, par exemple. M""" de Kowalewski 



dans son célèbre Mémoire. Mais il y a une foule 



d'autres manières de poser le problème. On peut 



se donner F tout le long d'un contour fermé, comme 



dans le problème de Dirichlet, ou se donner le rap- 



rfF 

 port de F à —;-• comme dans la théorie de la Cha- 

 '^ dn 



leur. 



Toutes ces façons de poser le problème, c'est à 

 la Physique que nous les devons. On peut donc dire 

 que sans elle nous ne connaîtrions pas les équa- 

 tions aux dérivées partielles. 



Il est inutile de multiplier les exemples ; j'en ai 

 dit assez pour pouvoir conclure. Quand les physi- 

 ciens nous demandent la solution d'un problème, 

 ce n'est pas ime corvée qu'ils nous imposent; c'est 

 nous, au contraire, qui leur devons des remercie- 

 ments. 



lY 



Mais ce n'est pas tout ; la Physique ne nous donne 

 pas seulement l'occasion de résoudre des pro- 

 blèmes : elle nous aide à en trouver les moyens ; et 

 cela, de deux manières: elle nous fait pressentir la 

 solution; elle nous suggère des raisonnements. 



J'ai parlé plus haut de l'équation de Laplace, que 

 l'on rencontre dans une foule de théories physiques 

 fort éloignées les unes des autres. On la retrouve 

 en Géométrie, dans la Théorie de la représenta- 

 tion conforme, et, en Analyse pure, dans celle des 

 Imaginaires. De cette façon, dans l'étude des fonc- 

 tions de variables complexes, l'analyste, à côté de 

 l'image géométrique, qui est son instrument habi- 

 tuel, trouve plusieurs images physiques dont il 

 peut faire usage avec le même succès. Grâce à ces 

 images, il peut voir d'un coup d'œil ce que la 

 déduction pure ne lui montrerait que successive- 

 ment. Il i-assemble ainsi les éléments épars de la 

 solution, et, par une sorte d'intuition, devine avant 

 de pouvoir démontrer. 



Deviner avant de démontrer! .\i-je besoin de 

 rappeler ijuc c'est ainsi que se sont faites toutes 



