9.->8 É3HLE PICARD — REVUE DE QUELQUES TRAVAUX MATHÉMATIQUES RÉCENTS 



iiaturellemenl un ensemble parfait non continu. Il 

 est à présumer que, dans l'élude d'autres fonctions 

 ou d'autres équations différentielles, s'introduira 

 nécessairement la considération de ces multipli- 

 cités fort étranges au premier abord. Citons encore 

 un second exemple d'une nature toute différente: 

 dans un récent mémoire, M. Hadamard vient d'étu- 

 dier les lignes géodésiques des surfaces à courbures 

 opposées ayant un nombre limité de nappes infi- 

 nies'. Il établit que les tangentes aux lignes géodé- 

 siques passant par un point de la surface, et 

 restant à distance finie, forment un ensemble par- 

 fait non continu. Ce résultat est intéressant au 

 point de vue de la disposition des lignes géodé- 

 siques de la surface ; il montre qu'il existe des 

 lignes géodésiques se rapprochant d'une géodé- 

 sique fermée déterminée, puis abandonnant celle-ci 

 pour se rapprocher d'une autre, puis passant à une 

 troisième, et ainsi de suite indéfiniment. Ces deux 

 exemples suffiront pour montrer l'intérêt que 

 pourra présenter dans des questions classiques la 

 Théorie des ensembles. Tout cela, sans doute, 

 promet aux géomètres de belles difficultés, mais 

 les sciences mathématiques partageront probable- 

 ment dans l'avenir, avec bien d'autres sciences, le 

 privilège de la complication. Espérons seulement 

 que des homme de génie viendront, de loin en 

 loin, donner, au moins pour un temps, l'illusion de 

 la simplicité. 



II 



Les mathématiciens qui ne se piiiuent pas de 

 philosophie, peuvent donc avoir à tirer parti de 

 spéculations qui tout d'abord semblent très éloi- 

 gnées de leurs sujets habituels de recherches. Si 

 certain esprit philosophique, dans les Mathéma- 

 tiques, conduit à piétiner sur place, il en est un 

 autre plus actif qui est la condition nécessaire du 

 progrès et nous pousse à sortir des cadres où nous 

 serions tentés de nous renfermer. Ainsi, quelques 

 analystes veulent systématiquement réduire l'Ana- 

 lyse à l'étude des fonctions dites analytiques, 

 c'est-à-dire développables en série de Taylor; c'est, 

 ce me semble, une vue trop étroite. L'idée île fonc- 

 tion, c'est-à-dire de dépendance entre plusieurs, 

 quantités est autrement vaste, et nous ne devons 

 pas négliger de la creuser, autant qu'il nous est 

 possible, dans toute sa généralité. Mais, dira-t-on, 

 les fonctions usuelles sont analytiques; indiquez- 

 nous quelques questions où il y ait intérêt à se 

 placer à des points de vue aussi généraux. Il suffit, 

 pour répondre, de se reporter aux théorèmes rela- 

 tifs à l'existence des intégrales des équations diffé- 

 rentielles; dans ces questions, c'est en cherchant 



* C. R. Acad. des Se. de Paris, t. C\\[\, n« 20. 



des modes de démonstrations qui ne soient pas 

 limités aux fonctions analytiques, que l'on est 

 arrivé' à avoir des déterminations des intégrales 

 dans le champ le plus étendu : le point de vue le 

 plus général donne, pour les applications, les meil- 

 leurs résultats. Dans un autre ordre d'idées, la 

 Théorie des fonctions analytiques conduit elle- 

 même à la considération des fonctions non ana- 

 lytiques, comme il arrive fréquemment pour les 

 séries entières qui restent continues sur leur cercle 

 de convergence. Citons encore un fait remarquable 

 signalé, il y a peu de temps, par M. Borel : ce géo- 

 mètre forme une équation aux dérivées partielles 

 du second ordre où ne figurent que des fonctions 

 analytiques, et, cherchant les solutions pério- 

 diques de cette équation, il trouve une seule solu- 

 tion qui n'est pas analytique. Il est fort curieux de 

 voir apparaître ainsi nécessairement une telle 

 solution dans un problème dont toutes les données 

 sont analytiques, et tout porte à penser que pa- 

 reille circonstance pourra se présenter ailleurs, en 

 Physique mathématique par exemple, où l'on ne 

 voit pas du tout pourquoi ne devraient figurer que 

 des fonctions analytiques. 



Nous ne quitterons pas l'avant-garde des Malhé- 

 j maliques en disant un mot des séries divergentes. 

 Elles commencent à se relever du discrédit qui les 

 avait frappées; seuls, les astronomes les em- 

 ployaient avec confiance et ne s'en trouvaient 

 d'ailleurs pas mal. La littérature mathématique de 

 ces dernières années les réhabilite beaucoup; 

 M. H. Poincaré avait déjà montré l'intérêt que pré- 

 sentait la considération des séries divergentes 

 dans la théorie des équations linéaires, et comment 

 on pouvait représenter asymptoliqufimenl leurs inté- 

 grales à l'aide de telles séries. M. Borel vient de 

 publier un mémoire très suggestif sur les séries 

 divergentes sommables, où il étend la notion de 

 limite, et indique comment on peut définir dans 

 des cas très étendus la somme d'une série diver- 

 gente; il a appliqué ces considérations à l'élude 

 des fonctions représentées par des séries entières. 

 Il est probable que le rôle des séries divergentes 

 est appelé à s'étendre beaucoup dans l'avenir. 



III 



La Théorie des fonctions analytiques continue à 

 faire l'objet de nombreuses recherches; on doit 

 cependant s'attendre à ce que les progrès de quel- 

 que importance vont maintenant y être plus lents. 

 La moisson depuis vingt ans a été extrêmement 

 abondante, et sur bien des points on est arrêté 

 aujourd'hui par des difficultés considérables. Ces 

 difficultés prennent de plus en plus un caractère 

 arithmétique, et les rapports entre la Théorie des 



