EMILE PICARD — HKVUE DE QUELQUES TRAVAUX MATHÉMATIQUES RÉGENTS 9.VJ 



foiiiliiiiis cl la Thi'orie des nombres vont, sans 

 (li)iili'. (.loYi'nir do plus en plus étroits. 



I '■•; séries entières, c'est-à-dire les séries ordon- 

 11 .s suivant les puissances croissantes d'une va- 

 rialile, jouent un rôle capital en Analyse. M. Hada- 

 niard a donné, pour la recherche des points 

 sina;utiers d'une telle série situés sur le cercle de 

 convergence, une méthode d'une grande impor- 

 tance. En l'appliquant aux fonctions rntières (séries 

 entières convergentes dans tout le plan), il a pu 

 obtenir la loi de dislriinilion des racines d'une telle 

 fonction, quand on connaît la loi des coefficients. 

 Ces résultais méritent de devenir classiques; ils 

 viennent d'être utilisés par M. Von Mangoldt, 

 M. de la Vallée-Poussin et M. Hadamard lui-même 

 pour une étude très approfondie d'une transcen- 

 dante célèbre introduite par Riemann dans la 

 théorie des nombres premiers. Les méthodes de 

 M. Hadamard ont été aussi employées par M. Fabry 

 pour l'élude des séries entières qui ne sont pas 

 susceptibles de s'étendre au delà de leur cercle de 

 convergence. On peut regarder comme probable, 

 d'après ces recherches, que, loin d'être l'exception, 

 ce cas est, en quelque sorte, le cas général; il est 

 curieux que l'on ait eu autrefois à se donner beau- 

 tiiiip de mal pour trouver des exemples d'une 

 circonstance aussi fréquente. 



Un sait que, dans le voisinage d'un point singu- 

 lier essentiel isolé, une fonction uniforme prend 

 un nombre infini de fois toute valeur donnée, une 

 exception seulement étant possible pour deux va- 

 leurs particulières au plus. Comme cas particulier, 

 il résulte de là qu'une fonction entière qui ne de- 

 vient égale à deux constantes données que pour un 

 nombre limité de positions de la variable, est 

 nécessairement un polynôme. M. Borel a réussi à 

 donner de ce dernier théorème une démonstration 

 directe, qui avait été longtemps cherchée en vain, 

 sans recourir, comme on avait dû le faire, à la 

 théorie des fonctions elliptiques modulaires. On ne 

 peut dire que sa démonstration doive être considé- 

 rée comme élémentaire, car elle exige des raison- 

 nements fort délicats, mais elle est extrêmement 

 intéressante et elle conduit à des généralisations 

 étendues, en montrant l'impossibilité de certaines 

 identités. 



M. Painlevé poursuit ses belles recherches sur la 

 Théorie analytique des équations diflérentielles 

 d'ordre supérieur au premier. Elles présentent de 

 très graves difficultés, dont la plus importante est 

 l'existence possible de points singuliers essentiels 

 mobiles. M. Painlevé étudie spécialement les équa- 

 tions différentielles algébriques dont l'intégrale 

 générale n'admet qu'un nombre fini de valeurs 

 autour des points critiques mobiles. Bornons-nous 

 au second ordre; la manière dont les constantes 



arbitraires figurent dans l'intégrale générale joue 

 un ri)le capital. M. Painlevé élucide complètement 

 la nature de l'intégrale quand on peut choisir les 

 conslaiiles de numière que l'une d'elles entre algé- 

 briquement, et il montre que l'on est ramené à des 

 types connus d'équations. Si les deux constantes 

 entrent d'une manière transcendante, de quelque 

 façon qu'on les choisisse, la question est beaucoup 

 plus difficile; c'est le seul cas qui pourrait donner 

 des transcendantes vraiment nouvelles. Sur ce 

 point, M. Painlevé n'a pas achevé ses recherches, 

 nuiis, quelles que doivent être leurs conclusions 

 dernières, les analysles admireront la pénétralion 

 dont témoignent maintes pages du volume, dans 

 lequel le profond géomètre a rassemblé les leçons 

 qu'il fut invité, en l89o, à faire sur ces matières à 

 l'Université de Stockholm '. 



L'élude des équations difl'érentielles, en suppo- 

 sant que les variables restent réelles, continue à 

 faire l'objet de nombreux mémoires, tant dans la 

 théorie des équations différentielles ordinaires que 

 dans la théorie des équations aux dérivées par- 

 tielles. Mais je dois abréger, et je me bornerai à 

 citer un mémoire de M. LiapounofT, dans lequel 

 l'éminent géomètre russe répond à une question 

 posée depuis longtemps sur le mouvement d'un 

 système dans le voisinage d'une position d'équi- 

 libre. On sait que,' quand il y a une foncliun des 

 forces, la position d'équilibre d'un système maté- 

 riel est stable, si, pour celle position, la fonction 

 des forces est maxima. Quant aux positions d'équi- 

 libre, pour lesquelles celle dernière condition n'est 

 pas remplie, on les regardait généralement comme 

 instables, mais leur instabilité n'avait jamais été 

 démontrée. M. LiapounofT l'établit en particulier 

 pour le cas, que l'on peut appeler général, où la 

 non-existence du maximum de la fonction des 

 forces se reconnaît parles termes du second ordre. 

 De telles recherches sont, d'ailleurs, en connexion 

 étroite avec les travaux de M. H. Poincaré sur la 

 forme des courbes définies par des équations diffé- 

 rentielles. 



IV 



La Théorie des équations aux dérivées partielles, 

 restée longtemps slationnaire, a fait dans ces der- 

 nières années de sérieux progrès, particulièrement 

 sous l'influence du grand ouvrage de M. DarLoux 

 sur la Théorie des Surfaces, où des problèmes géo- 

 métriques variés conduisent à de telles équations. 



De nombreux mémoires avaient été consacrés à 

 la démonstration générale de l'existence des inté- 



' P. Paixlevé : Leçons sur la théovie analytique des (qua- 

 liuns di/férc-nlietles, professées à Slocliholin en 18'Jj. .V. ller- 

 iiiann, éditeur, Paris, 181)7. 



