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EMILE PICARD — REVUE DE QUELQUES TRAVAUX MATHÉMATIQUES RÉGENTS 



grales d"un système d'équations aux dérivées par- 

 tielles. M. Riquier, et ensuite, sous une forme plus 

 précise, M. Delassus, sont arrivés à lever les diffi- 

 cultés qui subsistaient encore, et l'on peut mainte- 

 nant, dans tous les cas possibles, se rendre compte 

 du degré de généralité des solutions. Il faut, d'ail- 

 leurs, bien préciser, dans ces questions, ce qu'on 

 entendra par degré de généralité. Il figure, dans 

 l'intégrale générale d'une équation aux dérivées 

 partielles, des fonctions arbitraires. Les géomètres, 

 au commencement de ce siècle, considéraient, par 

 exemple, comme ayant un plus grand degré de 

 généralité une intégrale dépendant de deux fonc- 

 tions arbitraires qu'une intégrale dépendant d'une 

 seule fonction arbitraire. Cela est vrai à un certain 

 point de vue, au point de vue analytique, mais il 

 en est autrement au point de vue aritlimétique, et 

 on peut dire qu'un nombre fini quelconque de 

 fonctions arbitraires n'ont pas un plus grand degré 

 de généralité qu'une seule fonction arbitraire, tout 

 au moins si les fonctions sont analytiques; car 

 c'est se donner dans les deux cas une suite simple- 

 ment infinie de coefficients. Aussi s'explique-t-on 

 que M. Borel ait pu établir que toutes les intégrales 

 analytiques d'une équation linéaire d'ordre quel- 

 conque aux dérivées partielles peuvent être obte- 

 nues à l'aide d'une formule ne renfermant qu'une 

 fonction arbitraire. Il y a certainement, au point 

 de vue qui nous occupe, une grande différence 

 entre les équations dont toutes les intégrales sont 

 analytiques et celles qui admettent des intégrales 

 non analytiques. Il y a donc quelque intérêt à être 

 assuré que toutes les intégrales d'une équation aux 

 dérivées partielles sont analytiques; on peut indi- 

 quer aujourd'hui des classes étendues d'équations 

 jouissant de cette propriété. 



La Théorie des équations au.^c dérivées partielles 

 du second ordre à deux variables indépendantes a 

 fait, comme on sait, au commencement de ce siècle, 

 l'objet des travaux d'Ampère. Pendant de longues 

 années, il n'a été rien ajouté d'essentiel à ces mé- 

 moires célèbres. En 1870, M. Darboux publia un 

 mémoire renfermant des vues profondes et origi- 

 nales, qui est fondamental dans l'histoire de celte 

 Théorie. Depuis cette époque, divers géomètres ont 

 développé des méthodes se rapprochant plus ou 

 moins de celle de M. Darboux. Dans un ouvrage 

 considérable', M. Ooursat a rassemblé et comparé 

 les méthodes proposées, en y ajoutant ses recher- 

 ches personnelles sur ces questions difficiles. Il a 

 pu partager les équations du second ordre en qua- 

 tre grandes classes, et l'examen de certains cas 



' E. GouRSAT : Leçons sur iint(ff/rallon des équations aux 

 dérivées partielles du second ordre à deux variables indé- 

 vendantet. A. llermann, éditeur, Paris, 189G. 



particuliers l'a conduit à une classe nouvelle d'c'- 

 quations intégrables. Les recherches de M. Goursal 

 jettent une vive lumière sur les travaux d'Ampère, 

 dont plus d'un point, malgré tant d'années, était 

 resté obscur. Arrêtons-nous seulement sur une 

 question importante, à laquelle on avait fait des 

 réponses diverses. Ampère détinit de la maniiie 

 suivante l'intégrale générale d'une équation aux 

 dérivées partielles : pour qu'une intégrale soit gé- 

 nérale, il faut qu'il n'en résulte entre la fonction, 

 et ses dérivées à l'infini que les relations exprimées 1 

 par l'équation donnée et par les équations qu'on 

 en déduit en la différentiant. Les travaux de Caii- 

 chy et de ses successeurs conduisent à une autre 

 définition de l'intégrale générale : en se bornant 

 au second ordre et à deux variables, une intégrale 

 dépendant d'éléments arbitraires sera générale, si 

 elle correspond à une surface que l'on puisse faire 

 passer par une courbe arbitraire, la loi de varia- 

 tion des plans tangents le long de cette courbe 

 étant elle-même arbitrairement donnée. Y a-l-il 

 identité entre la définition d'Ampère et celle île 

 Cauchy? Les avis étaient partagés; M. Goursat 

 montre bien nettement qu'une intégrale peut être 

 générale au sens d'x\mpère, sans être générale au 

 sens de Cauchy. 



V 



Il nous faudrait maintenant suivre les travaux se 

 rapportante l'Algèbre supérieure et à la Théorie des 

 nombres, mais cesontdes sujets bien abstraitspciur 

 trouver longuement place ici. De nombreux mémui- 

 resont été consacrés à la Théorie des substitution-. 

 Nous pouvonssignaler enFrance un intéressant Ira- 

 vail de M. Maillet, couronné l'année dernière par l'Aca- 

 démie, mais c'est surtout en Allemagne et en Amé- 

 rique que l'efi'ort des chercheurs s'est porté de ce 

 côté. On sait qu'on entend par substitution etTectuée 

 sur un certain nombre de lettres l'opération per- 

 mettant de passer d'une permutation de ces lettres 

 à une autre. Un ensemble de substitutions forme 

 un groupe quand, en les combinant entre elles, <in 

 obtient toujours des substitutions du même ensem- 

 ble; le nombre des substitutions de celui-ci s'ap- 

 pelle Vordre du groupe. C'est un problème, depuis 

 longtemps posé, que la recherche de toutes les 

 substitutions d'un ordredonné.Lesdernierstravaux 

 des algébristes allemands et américains ont nota- 

 blement étendu nos connaissances sur ce sujet. 

 Pour donner au moins quelques énoncés, ranpe-' 

 l(Mis qu'on appelle groupe résoluble ou métaci/clii/ue 

 un groupe appartenant à une équation résoluble 

 par radicaux, groupe dont l'étude est relativement 

 facile. M. Frobenius a démontré que tout groupe 

 dont l'ordre décomposé en facteurs premiers ne 

 renferme que des facteurs à la première puissance,- 



