EMILE PICARD — REVUE DE QUELQUES TRAVAUX MATHÉMATIQUES RÉCENTS 961 



est résoluble, et la même propriété appartient aux 

 groupes dont l'ordre eslde la forine/5 (/a, en désignant 

 par;; et (/deux nombres premiers, et para un entier 

 positif quelconque. Ces résultats sont dignes de re- 

 marque : ils montrenteombien sontrares, au moins 

 pourles ordres inférieurs.les groupes non résolubles. 

 On serait tenté de croire que la notion, enapparence 

 si étendue, de yroupe de siihstitutions est beaucoup 

 plus restreinte quïl ne semble au premier abord. 

 C'est un peu aussi la même pensée qui se présente 

 à l'esprit pour la célèbre Théorie des groupes de 

 transformation de M. Sopims Lie, quand on étudie 

 son développement dans ces derniers temps. Ce 

 n'est qu'après de longues recherches, que nous 

 pouvons le plus souvent juger de l'étendue de nos 

 conceptions. 



Dans la Théorie des nombres, les problèmes re- 

 latifs aux approximations et à la Théorie arithmé- 

 tique des formes comptent parmi les plus attrayants 

 et les plus difficiles. C'est à ces problèmes que 

 M. Hermite a consacré autrefois quelques-uns de 

 ses plus beaux travaux. Dans ces dernières années, 

 deux géomètres allemands, M. Minkowski et 

 M. Hurwitz, ontété d'une manière particulièrement 

 brillante les continuateurs de M. Hermite. Dans un 

 volume intitulé « Géométrie der Zahlen », M. Min- 

 kowski vient de développer une méthode géomé- 

 trique profonde, qui l'a conduit à des résultats 

 extrêmement généraux sur la Théorie des formes. Il 

 obtient en particulier les résultats de M. Hermite 

 sur les formes quadratiques, mais avec des limites 

 plus étroites d'approximation. Pour citer un exem- 

 ple, considérons une forme quadratique à n va- 

 riables, restant toujours positive et différente de 

 zéro (sauf, bien entendu, pour les valeurs zéro don- 

 nées à toutes les variables), et dont les coefficients 

 sont des quantités réelles quelconques; quand les 

 variables prennentdes valeurs entières qui ne sont 



pas toutes nulles, la forme a évidemment un mini- 

 mum dont, pour un grand nombre de questions, il 

 est important d'avoir une limite supérieure. 

 M. Hermite avait trouvé une limite de la forme 



\„ \/ D, où D désigne le discriminant de la forme 

 etY„une quantité purement numérique ne dépen- 

 dant que de l'entier»?. M. Minkowski retrouve une 

 limite de même forme, mais où le coefficient y,, est 

 plus petit que celui de M. Hermite. Les principaux 

 résultats de M. Minkowski ont été démontrés par 

 M. Hurwitz à l'aide de méthodes purement arith- 

 métiques, sans aucune considération géométrique. 

 Dans le même ordre d'idées, on doit aussi à cet 

 éminent géomètre bien des résultats d'une grande 

 élégance relatifs aux approximations numériques. 



VI 



Cette revue, bien sommaire et bien incomplète, 

 donnera une idée de l'activité des mathématiciens. 

 De nombreuses tentatives ont é lé faites avec bonheur 

 dans des directions variées, et des théories générales 

 ont été élaborées dont l'avenir montrera sans doute 

 de plus en plus la fécondité. On pouvait même, il y 

 a quelques années, s'alarmer de cet entraînement 

 un peu trop général vers des théories nouvelles, 

 car il est souvent plus facile de se poser de nou- 

 veaux problèmes que de réaliser un progrès sérieux 

 dans des (]uestions depuis longtemps ouvertes. Il 

 semble bien qu'il y ait eu dans ces derniers temps 

 une réaction salutaire. Plusieurs questions long- 

 temps négligées ont été reprises avec succès en 

 profitant des progrès accomplis ailleurs; on en a vu 

 plus haut de nombreux exemples. 



Emile Picard, 



de l'Acidûniic des Sciences. 



Professeur d'Analyse supèriouro 



à l'Université de Paris. 



REVUE GÉNÉRALE UES SCIEXCES, 1897 



