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BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1° Sciences mathématiques 



Goursat (Ed. ), Professeur de Calcul différentiel et intégral 

 il rUniversité de Paris. — Leçons sur l'intégration 

 des équations aux dérivées partielles du second 

 ordre à deux variables indépendantes. Tome 11 : 

 Méthode de Laplace, systèmes en involution, mé- 

 thode de M. Darboux, équations de la première 

 classe, transformations des équations du second 

 ordre, généralisations diverses. — 1 vol. i»-8" de 

 Wt 'pages. [Prix : 10 fr. 50.) Uermann, éditeur, 8, rue 

 de la isoibonne. Paris, 1898. 



La méthode de Monge et d"Anipère, qui a fait l'objet 

 du ijremier volume de l'ouvrage de M. Goursat, pré- 

 sente, avec les méthodes relatives aux équations du 

 premier ordre, cette analogie que, seules, les transfor- 

 mations de contact y jouent un rôle fondamental. De 

 même que l'intégration d'une équation du premier 

 ordre, l'intégration d'une équation du second ordre 

 par cette méthode revient à l'obtention d'une transfor- 

 mation de contact qui ramène le problème à une forme 

 sous laquelle la solution en est immédiate. 



Le tome II des Leçons sur l'intégration des équations 

 aux dérivées partielles du second ordre débute par l'étude 

 de la transformation de Laplace, qui fait appel à un 

 ordre d'idées diffrrrnl, piiisiiu'cllf csl spéciale uuxé(|ua- 

 iionslinéaiiis du second oïdic : .ip|iliquéc à uni' é(iua- 

 tion non liniMiii', clic ne coniluir.iil p;is, en iii'néral, à 

 une nouvelle équation de second ordre, mais à plusieurs 

 équations d'ordre supérieur. Cette transformation a été 

 étudiée en détail dans les Leçons sur la théorie des sur- 

 faces de M. Darboux (tome II); M. tioursat se contente 

 d'en exposer les propriétés les plus essentielles. Il ajoute 

 cependant plusieurs résultats personnels, entre autres 

 cette proposition, par laquelle il répond à une question 

 posée par M. Darboux : Pour que la suite de Laplace se 

 termine après n — 1 transformations au plus, il faut et il 

 suffit que n-\- {intégrales, linéairement distinctes, soient 

 liées par une relation linéaire et homogène à coefficients 

 fonctions d'une seule des deux variables indépendantes 

 données. 



Nous revenons ensuite à l'étude générale des carac- 

 téristiques avec les systèmes en involution, qui sont la 

 véritable généralisation naturelle des équations du pre- 

 mier ordre. C'est ce que montre l'auteur, qui, sans se 

 fonder eur les nombreux et importants travaux publiés 

 dans ces dernières années sur les équations aux déri- 

 vées partielles simultanées, étend à ce nouveau cas la 

 théorie des caractéristiques, celle de l'intégrale com- 

 plète, etc. : l'analogie des deux problèmes tenant à ce 

 qu'une intégrale d'un système en involution est un lien 

 de multiplicités d'éléments qui tlépendent d'un nombre 

 fini de constantes arbitraires. 



Les considérations ainsi développées permettent d'ex- 

 poser simplement la méthode de M. Darboux, laquelle 

 consiste à trouver une équation, d'ordre quelconque, 

 ayant avec la proposée une solution commune déiien- 

 dant d'une l'onction arbitraire, et se ramène à la re- 

 cherche lies expressions différentielles d'ordre quel- 

 conque invarianles sur les caractéristiques. C'est 

 luécisément en faisant appel à des invariants d'ordre 

 (le plus en plus élevé que l'on peut intégrer des é(jua- 

 tions qui échapperaient à la méthode d'Ampère. 



Maihi'ureusenienI, on ne peut assigner a priori une 

 limite supérieure de l'ordre de dilîérentiation auquel 

 on pourra s'arrêter. M. Goursat montre que chaque 

 ordre nouveau, à partir du troisième, ne peut donner 



qu'un seul invariant, le second ordre pouvant en fournir 

 jusqu'à trois et le premier deux (dans les seules équa- 

 tions de Monge et d'Ampère). 



Parmi les applications qui sont indiquées de cette 

 méthode, la plus intéressante concerne ses relations 

 avec la méthode de Laplace. Tout en ne faisant aucu- 

 nement appel à la forme spéciale de l'équation, la mé- 

 thode de M. Darboux se montre, lorsqu'on l'applique 

 aux équations linéaires, entièrement équivalente à 

 celle de Laplace. Elle en est la généralisation en même 

 temps qu'elle est la généralisation de la méthode d'Am- 

 jière. 



La méthode de M. Darboux peut donc être considérée 

 comme la plus générale qui existe actuellement. C'est 

 ce qui ressort encore du chapitre consacré aux équa- 

 tions de la première classe d'Ampère, c'est-à-dire dont 

 l'intégrale générale peut s'exprimer par les formules : 



X = V, [a, p, A (a), r< («), -, A- («), A («)> -, ?. (?), 9'. (?)• -]. 

 y = \, [a, p, A(«), /',{«),.. .,A(a),/',(a), ...,?.(?}, ?'.(?),...], 

 : = V3 [a, P, /-.(a), A («\-, A (a), A («).-- 9. (?)>?'. {?)•••■], 



où 'V|, Y,, V3 sont des fonctions déterminées de a, de p, 

 de p fonctions /■! (a), f.(a)...., fp{a.), de q fonctions <p,(P), 

 ç,([J)...., o,;(p) et de leurs dérivées en nombre fini, les 

 p fonctions f,, f., ..., f,, étant liées par p— l équations 

 différentielles d'ordre quelconque, les q fonctions 9,, ?, 

 ...,9, par q — 1 équations différentielles d'ordre quel- 

 conque. 



Après avoir discuté le critérium par lequel Ampère 

 enseigne à reconnaître si une intégrale est générale et 

 constaté que ce critérium n'est pas équivalent à celui 

 de Cauchy, l'auteur fait voir que la méthode de M. Dar- 

 boux, conformément aux prévisions de son auteur, 

 permet d'intégrer toutes les équations de la première 

 classe et même des équations d'une forme encore plus 

 générale. 



Mais on peut aller jikis loin; d'après une proposition 

 énoncée, quoi(jue non démontrée, par M. Maurice Lévy, 

 toute équation qui peut être intégrée à l'aide d'équa- 

 tions dilîérentielles ordinaires peut s'intégrer par la 

 méthode de M. Darboux. M. Goursat expose la démons- 

 tration que donne de ce théorème M. von Weber, tout 

 en signalant certains points qui demanderaient à être 

 élucidés plus complètement. De ce nombre est la posi- 

 tion même de la question : on sait ((u'une difficulté de 

 cette espèce se rencontre dans toutes les démonstra- 

 tions d'impossibilités mathématiques. 



L'auteur reprend ensuite l'étude des transformations 

 applicables aux équations par^îcuHèJ'es du second ordre. 

 La plus simple de toutes est celle qui consiste à intro- 

 duire, au lieu de la fonction inconnue, sa dérivée, et à 

 laquelle revient, au fond, la transformation de Laplace. 

 M. Goursat cherche la forme générale des équations 

 auxquelles cette méthode s'applique : de ce nombre est, 

 par exemple, l'équation connue de LiouviUe.Les trans- 

 formations linéaires, étudiées par M. Darboux dans le 

 tome II de ses leçons, dérivent de la précédente. Citons 

 encore, parmi les transformations étudiées en cet en- 

 droit, celle de M. Backlund, qui joue un si grand réie 

 dans la théorie des surfaces. 



Dans un dernier chapitre, l'auteur examine comment 

 les résultats établis pour le second ordre se générali- 

 sent, soit aux ordres supérieurs, soit au cas de plus de 

 deux variables indépendnnles. 



J. Hadamard, 



Maître de Conférences 

 à la FaculW des Sciences de Paris, 

 Professeur suppléant au Collège do Franco. 



