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BIBLIOGRAPHIE — ANALYSES? ET INDEX 



BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1° Sciences mathématiques 



Boulang-er (A.), A;inyd de flhvvcrsité. — Contri- 

 bution à l'étude des Equations différentielles 

 linéaires et homogènes intégrables algébrique- 

 ment. I Thèse pour le Doctorat de la Faculté des Scinircs 

 de Paris]. — 1 brochure in-i" de 122 payes. Gaulhier- 

 Yillars et fils, imprimeurs. Paris, 1898. 

 Malgré la similitude des noms, il ne faudrait pas 

 établir une confusion entre lu jeune et L-minent math.- 

 maticien auquel est due la thèse dont nous voulons ici 

 rendre compte, et son homonyme, auteur d'une brochure 

 sur la quadrature du cercle, dont nous avons eu l'occa- 

 sion de dire quelques mots dans la Revue. 



Le sujet de l'intégration algébrique des équations 

 différentielles linéraires est l'un des plus importants et 

 des plus difficiles de l'analyse. M. Boulanyer en pré- 

 .sente un historique très complet, bien que résumé, 

 ce qui suffirait déjà à donner à son travail un haut 

 intérêt. Ce n'est cependant que la moindre partie de son 

 œuvre. Le but essentiel qu'il poursuit est le suivant: 



Etant donnée une équation différentielle linéaire 

 du -i" ordre (E) et un système complèleinent inlégra- 

 ble (S) aux dérivées partielles du 2= ordre à deux 

 variables, dont l'intégrale dépend linéairement de 

 trois constantes arbitraires, il s'agit, les coefficients 

 étant rationnels : 1° de former toutes les éciuations (E) 

 ou tous les sysiènies fS) dont l'iniètirale t'énérale est 

 algébrique; 2" de reconnaître si une équ;i lion (E) ou un 

 système (S) a une intégrale générale algébrique. 



L'auteur emploie, pour résoudre ces deux problèmes, 

 une méthode indiquée sommairement par .M. Painlevé. 

 Cette méthode conduit à la considération de quatre 

 invariants fondamentaux, fonctions rationnelles des 

 deux variables adoptées, et dont la formation exige de 

 très longs calculs. Une fois ces iuvariants obtenus, les 

 équations (E) ou les systèmes (S) à intécrale générale 

 algébrique, ont leurs coefficients donnés'explicitement 

 en fonctions rationnelles de deux fonctions rationnelles 

 arbitraires P et Q et de leurs dérivées, au moyen d'é:.'a- 

 lités généralisant l'équation de Kummer et dont l'éta- 

 blissement présentait de grandes difficultés. 



Inversement, si ces égalités ont une solution ration- 

 nelle, l'équation (E) ou le système (S) aura son intégrale 

 générale algébrique ; c'est une condition nécessaire et 

 suffisante. L'auteur parvient à reconnaître l'exis- 

 tence d'une telle solution en en limitant le degré. Il 

 résout donc complètement le double problème qu'il 

 s'était posé. 



Cette thèse constitue, en résumé, conformément à 

 la promesse du titre, une très importante contribution 

 a la théorie des équations différentielles, et nous fait 

 espérer que le brillant mathématicien à qui nous la 

 devons n'en restera pas là, et apportera dans cette 

 partie de l'analyse mathématique de nouvelles décou- 

 vertes et de nouveaux progrès. C.-A. Laisant, 



Répétiteur à l'Ecole Polytechnique. 



Mascart (Jeanj. — Contribution à l'étude des Pla- 

 nètes télescopiquea. iriiése pour le Doctorat de la 

 Faculté des Sciences de Paris.) — i brochure in-8" de 

 alpages. Gauthier-Villars el fils, éditeurs. Paris, 1898. 

 Ce mémoire comprend deux parties nettement dis- 

 tinctes : tandis que la seconde est purement théorique, 

 la première est une discussion numérique destinée à 

 mettre en évidence les vides ou lacunes présentés par 

 l'anneau des petites planètes, et les lois présentées par 

 ces lacunes. 



La première partie di''bul(! par un intéressant histo- 

 rique des questions relatives aux petites planètes : 

 Kepler avait remarqué la lacune présentée par le sys- 

 tème solaire entre Mars et .lupilcr; plus tard, la loi de 

 liode mit cette lacune en telle évidence que quelques 

 aslronomes se partagèrent le ciel en vue de la recherche 

 minutieuse de l'astre inconnu. Cette association d'un 

 nouveau genre était à peine constituée, que Piazzi 

 découvrit Cérès sans la chercher (1" janvier 1800). La 

 nouvelle planète parut d'abord être celle qui était 

 signalée depuis si longtemps, car elle se trouve à la 

 distance 2,8 du Soleil indiquée par la loi de Bode. 



La découverte de Pallas par Olbers (28 mars 1802) 

 donna lieu à la célèbre hypothèse de cet astronome, qui 

 regardait les deux nouvelles planètes comme des frag- 

 ments d'une plus grosse, dont on se préoccupa dès lors 

 de chercher de nouveaux débris : ainsi furent décou- 

 vertes Junon et Vesta (1804 et 1807); puis, trente-huit 

 années s'écoulent jusqu'à la découverte d'Astrée (8 dé- 

 cembre 1843), la cinquième des petites planètes; mais à 

 partir de ce moment le nombre de ces astéroïdes s'ac- 

 crut au delà de tout ce qu'on pouvait concevoir, et 

 alleint aujourd'hui 450. 



Si l'on distribue méthodiquement tous ces astéroïdes, 

 on remarque des accumulations de petites planètes 

 pour diverses valeurs de moyens mouvements, vers 

 ()4o" et 77.5" par exemple, tandis lu'il n'en est point qui 

 corresponHeiitseii>iblementà:-)00",(j00",7o0", 900", lO-ïO", 

 nombres qui sont au moyen mouvement de Jupiter 1 30U" ; 



comme les rapports simples -> 2, ^. -• 



Ces lacunes, signalées pour la première fois en 1860 

 par M. Kirkwood, présentent une grande analogie avec 

 celles de l'anneau de Saturne, et ont conduit à penser 

 que deux planètes dont les moyens mouvements sont 

 commensurables, se trouvent, par cela même, dans un 

 état instiible qu'elles doivent rapidement abandonner 

 sous l'influence de leurs actions mutuelles. 



Au contraire, dès 1812, Gauss pensait que l'action de 

 Jupiter tend à modifier progressivement le mouvement 

 de Pallas, de sorte que finalement les moyens mouve- 

 ments seraient amenés à avoir le rapport —r-. D'autres 



travaux tendraient à montrer (|ue les perturbations de 

 Jupiter ont été impuissantes à produire srulesles lacunes 

 constatées dans la zone des petites planètes. 



On voit par là tout l'intérêt que présente l'étude 

 approfondie de la distribution des astéroïdes, comme 

 recherche préliminaire de la cause des lacunes. 



Ml. J. Mascart se trouvait en présence de 400 orbites, 

 définies chacune géométriquement par o éléments; il 

 s'agissait de grouper toutes ces quantités et de les 

 ordonner méthodiquement. Ce travail ingrat ne pouvait 

 conduire à des lois rigoureuses; mais l'auteur a réussi 

 cependant à mettre en évidence l'action perturbatrice 

 de Jupiter pour des relations d'ordre élevé dans la fonc- 

 tion perturbatrice, cas encore inabordable directement 

 par la théorie. 



Ainsi, l'anneau d'astéroïdes est disséqué, en quelque 

 sorte, étudié dans ses moindres détails. Nous ne pou- 

 vons insister ici et nous nous bornerons à signaler 

 l'étude comparée des trois éléments qui sont les plus 

 importants pour la théorie : grand axe, inclinaison, 

 excentricité ; puis la comparaison avec les trajectoires 

 cométaires; enfin l'indication des analogies les plus 

 importantes entre les éléments de diverses petites pla- 

 nètes. 



Dans la deuxième partie de la thèse, l'auteur traite 



