BIBLIOGRAPHIE — ANALYSES ET INDEX 



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BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1° Sciences mathématiques 



iDarboiix !(;asl(inl, Meinhyi' de rinsliliit, l'rofcssctir de 

 Gcvini'tiie siipi-' rit- tire a ri'iiircisile de Paris. — Leçons 

 sur les Systèmes orthogonaux et les Coordonnées 

 curvilignes. — 1 vol. in 8° de 3i0 pages. {PrLu : 10 fr.) 

 Gatithiei-Villars et fils, éditeurs. Paris, 1898. 



Le nouveau livre que publie M. Darlioux achèvera 

 l'exposé de la Science géométrique actuelle, auquel ont 

 servi de base les Leçuns sur la Ihéorie des Surfaces. De 

 même que celles-ci ont pour point de départ la repré- 

 sentation des points d'une surface par deux coordon- 

 nées, l'étude des propriétés de l'espace indépendantes 

 de la géométrie sur les .■•urfaces repose sur l'emploi des 

 systèmes de trois coordonnées curvilignes et, en parti- 

 culier, des plus intéressants d'entre eux, les systèmes 

 orthogonaux. 



On sait que, contrairement à ce qui a lieu pour les 

 courbes du plan, une famille quelconque de surfaces: 



o {:r, y, z] ^= u, 



n'est pas susceptible de faire partie d'un système triple 

 orthogonal. Cette propriété n'appartient qu'à des 

 familles convenablement choisies, dites familles de Lnmé, 

 et qui dépendent d'une équation aux dérivées partielles 

 du troisième ordre à laquelle satisfait la fonction 9. Cet 

 important résultat, en partie reconnu par Bouquet, a 

 été établi d'une manière élégante et simple par M. Dar- 

 boux lui-même, qui l'a rattaché au célèbre théorème de 

 Dupin. Sa démoii.stration fait l'objet du premier cha- 

 pitre de l'ouvrage actuel, en même temps que sont 

 indiquées les propriétés les plus simples de l'équation 

 obtenue, celles que fournit l'application du théorème 

 de Cauchy et de la théorie des caractéristiques. 



L'équation des systèmes orthogonaux n'appartient 

 pas au petit nombre de celles dont on sait trouver 

 l'intégrale générale. Mais on en connaît un certain 

 nombre de solutions paa'ticulièrps intéressantes. En 

 premier lieu, grâce à ce fait que toute ligne tracée sur 

 un plan ou une sphère en est une ligne de courbure, 

 une famille quelconque de plans ou de sphères est une 

 lamille de Lamé. S'il s'agit de plans, les deux auires 

 familles composant le système orthogonal seront celles 

 qu'engendrent des courbes, orthogonales entre elles, 

 tracées sur le plan mobile, lorsque celui-ci roule, en 

 les entraînant, sur la développable qu'il enveloppe. 

 Quant aux familles de sphères, une transformation 

 convenable permet de les ramener à des familles de 

 plans. 



Une autre catégorie de solutions particulières est 

 fournie par les fonctions u, telles que le paramètre de 

 Lamé : 



V(I)V(S)V©- 



soit égal ào„ {u){x' -\-y- -\- z')-\- <fj u) X -\--f,iu) 1/ -\- î^{u) z 

 -\- ffi^ (»). Si les fonctions »i (u) (ou du moins leurs rap- 

 ports) se réduisent à des constantes, la famille de Lamé 

 correspondante se délinii en construisant les cercles nor- 

 maux à une surface quelconque (^) et à une sphère fixe 

 (S); tous ces cercles sont normaux aux surfaces (- i qui 

 composent la famille cherchée. On construit par points 

 chaque surface (Z'] en déterminant sur chaque cercle 

 le point où il est normal à (2j, les deux points où il est 

 normal à (S), et en construisant le quatrjème point qui 

 forme, avec les précédents, un rapport anharmonique 

 constant. 



On voit qu'on est ainsi conduit à une transformation 

 de contact qui conserve les lignes de courbure. Les 

 transformations de cette nature ont été étudiées par 

 M. Lie. M. Darhoux établit qu'elles se traduisent ana- 

 lytiquement par une substitution linéaire orihogonale 

 effectuée sur les six coordonnées d'une sphère. C'est à 

 elles que se ramène l'étude du problème précédent 

 dans le cas général, celui où les rapports mutuels de 

 o; ne sont plus constants : les surfaces d'une même 

 famille dérivent encore de l'une d'entre elles par des 

 transformations de cette espèce. 



Revenant à l'équation du troisième ordre, l'auteur 

 indique plusieurs formes intéressantes qui peuvent lui 

 être données. Elle peut, en premier lieu, être consi- 

 dérée comme exprimant que la plus courte distance 

 d'une surface de la famille à la surface inliniment voi- 

 sine est une solution particulière de l'équation ponc- 

 tuelle relative au système conjugué formé par les lignes 

 de courbure. De là se déduit imniédiatenient une forme 

 extrêmement simple de l'équation, due à M. Maurice 

 Lévy. Cette forme s'obtient en prenant comme variables 

 indépendantes la fonction u et deux des coordonnées 

 rectangulaires. Elle conduit aisément à la détermina- 

 tion de toutes les familles de Lamé engendrées par le 

 déplacement d'une surface invariable. Enfin, on peut se 

 proposer de former l'équation demandée lorsque u est 

 supposé une fonction implicite de x, y, z, déterminée par 

 une relation Fur, j/, z.ti) = : il est curieux de constater 

 que l'équation aux dérivées partielles éciile dans ces 

 conditions n'est pas notablement plus compliquée que 

 celle qui correspond à u donné explicitement. Entre 

 autres applications, cette équation permet, avec l'aide 

 d'un théorème général relatif aux //j/nes ombilicales ou 

 lieux des ombilics des surfaces d'une même famille, de 

 trouver toutes les familles de Lamé composées de qua- 

 driques. 



Vient ensuite un des chapitres les plus importants 

 du volume, celui qui est relatif aux systèmes orthogo- 

 naux à n variables. On pourrait, au premier abord, voir 

 là une généralisation stérile de ce qui a été fait pour 

 n = 3. Il n'en est rien : on peut, par plusieurs méthodes 

 différentes (par exemple par l'emploi des coordonnées 

 pentasphériques), passer de systèmes orthogonaux de 

 l'espace à n dimensions à des systèmes orthogonaux 

 ordinaires. 



La théorie des systèmes orthogonaux à n variables 

 présente, bien entendu, une grande ressemblance avec 

 celle qui a fait l'objet des chapitres précédents; mais 

 cette ressemblance n'est pas complète. On trouve bien 



, , ,. , , (n — 1)(n — 2) 

 des équations, au nombre de , entière- 

 ment analogues à l'équat ion unique de l'espace ordinaire; 

 mais, en même temps que celles-ci, lafonclion cherchée u 



doit vérifier 



(n — 11 In — 2) (n— 3) 



autres relations (éga- 



lement du troisième ordre) qui n'apparaissent que pour 

 n>3. 



L'interprétation géomiHrique de ce résultat se fait en 

 étendant à Ihyperespace les notions de courbure et d • 

 ligni-s de courbure. Le théorème de Uupin se généralise 

 de lui-même aux notions ainsi étendues; mais la cir- 

 constance nouvelle qui se présente est celle-ci : dans 

 l'espace an dimensions, une surface quelconque ne peut 

 pas, comme il arrivait dans l'espace ordinaire, f.iire par- 

 tie d'un système complètement orthogonal ; pour qu'il 

 en soit ainsi, il faut que ses lignes de courbure soient 

 coordonnées, c'est-à-dire qu'on puisse choisir n — i fonc- 

 tions dont icne seule varie sur chaque ligne de courbure. 



