9' ANNÉE 



N» 17 



15 SEPTEMBRE 1898 



REVUE GÉNÉRALE 



DES SCIENCES 



PURES ET APPLIQUÉES 



DIRECTEUn : LOUIS OLIVIER 



CHRONIQUE ET CORRESPONDANCE 



§ 1- 



Mathématiques 



\ouvelle tli<''oi'îe des spliùrcs transîns- 

 crites. — Quand, il rj a quelques mois, la Hevuc conduisit 

 •i.'iO touristes au couvent russe du Rossicoii. (Mont-Atltos), 

 les voyageurs eurent la très aiiréahle surprise d'j/ être 

 ac'Ueiilis par un moine quiparlait parfaitement te français, 

 l'oint n'elail hc^uin iVétrc grand clerc /iniir iliscerner en lui 

 pins qiCim r^fo-il In-s cultivé, un a^sni//)' il'nlral et un 

 sarant. Mai^i Ir prir l'ijprien — c'est (iiii\i rjii'mi l'appelait 

 — cachait mûdesleincnt sous cette di:si(/nalion uionusti(/nc 

 le nom qu'il a rendu célétjre parmi les explorateurs, et 

 s'abstenait de parler de sa science de prédilection. Aujour- 

 d'hui, la Revue reçoit de lui te très curieux travail de 

 Géométrie qu'on va lire. Elle le publie sous la forme même 

 que lui a donnée l'auteur, voulant laisser à la pensée lia 

 sarant russe tout son caractère, et à la façon dont il l'a 

 exprimée toute sa saveur. L. O. 



J'appelle sphère Iransinscrite à un polyèdre celle qui 

 (Si tangente à toutes ses arêtes. 



On sait que tout polyèdre régulier possède une 

 sphère inscrite et une sphère circonscrit''; outre cela, 

 le tétraèdre possède encore quatre sphères exinscrites 

 (pas davantage, car dans ses combles il n"y en a pas). 

 Aucun autre polyèdre régulier ne .saurait en admettre, 

 puisque ses faces opposées sont toujours parallèles; 

 mais, à la place de cela, chaque polyèilre régulier (le 

 tiHraèdre y compris) possède une sphère transinscrite, 

 qui lui est concentrique, touche toutes ses arêtes en leurs 

 milieu.x et coupe toutes ses faces suivant des cercles qui 

 leur sont inscrits. 



Maintenant, le lecteur peut comprendre pourquoi 

 j ai donné le nom de « Iransinscrite >i pour ce genre 

 de sphères, puisque, tout en étant inscrites, elles 

 coupent le polyèdre et en sortent par autant de calottes 

 sphériques que le polyèdre a de laces. 



Il est facile de démontrer l'cvistence de pareilles 

 sphères. En effet, soit un polyèdre P de nature quel- 

 conque, f sa face et a son arête ; R le rayon de la 

 sphère qui lui est circonscrite. Le trianf^lequi a son 

 sommet au centre et pour base l'arête, est isocèle, car 

 ses deux côtés sont les rayons; par suite, la perpendi- 



DEVCE OÉNéRALE DES SCIENCES, 1898. 



culaire abaissée du centre sur l'arête tombe en son 

 milieu et est égale à la racine carrée de la diflérence 

 entre le carré du rayon et celui de la moitié de l'arête, 

 c'est-à-dire 



s/'-ilï 



elle est donc constante; la sphère qui l'aura pour 

 rayon, et de plus, aura son centre au centre du polyèdre, 

 sera, par conséquent, tangente à toutes les arêtes du 

 polyèdre en leurs milieux, et elle sera unique de c(^ 

 genre, c'est-à-dire indépendante de la nature du polyè- 

 dre et môme de son espèce, car ceux d'espèce supé- 

 rieure possédant tous un noyau convexe, on pourra 

 raisonner s\ir ce noyau comme on l'a fait sur le 

 polyèdre ordinaire. 



Or, l'espèce d'un polyèdre étant subordonnée à sa 

 nature, on voit que les polyèdres d'espèce supérieuic 

 auront les mêmes sphères transinscrites que ceux dont 

 ils dérivent d'après le système de Cauchy. 



Les sphères transinscrites ont des propriétés remar- 

 quables, mais on appréciera surtout l'imporlance de 

 ces nouvelles s|)hères en remarquant que; lundis que les 

 rayons f/'s sphères inscrite et circonscrite ne s'expriment 

 en fonction de l'arête du polyèdre que d'une façon très 

 compliquée, le rayon de la sphère Iransinscrite s'exprime 

 très simplement en fonction de cette arête, i'ar exemple, 

 d'après Cauchy, en [irenant l'arête de l'icosaèdre pour 

 unité, le rayon de la sphère qui lui est inscrite est 

 égal à 



t/3(3-f y/j) 



12 

 et celui de la sphère circonsciile à 



2\/2 ■ 



Dans les mêmes conditions, le rayon de la sphère trans- 

 inscrite est égal à 



