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CHRONIQUE ET CORRESPONDANCE 



ou voit combien celle expression est plus simple que 

 les précédentes : elle ne contient qu'un seul radical et 

 qui se calcule fort aisémonl; le même cas se présenle 

 concernant les autres polyèdres. Si nous désignons pari 

 l'inclinaison de deux faces adjacentes, et par p le 

 rayon de la sphère transinscrile, nous pourrons déduire 

 facilement la formule générale qui servira pour le cal- 

 cul de la «urface et du volume de cette sphère lorsque 

 l'arête du polyèdre est donnée et vice vei-sa quand c'est 

 le rayon de là sphère qui est connu. A cet effet, dési- 

 gnons par k le quotient de la demi-circonférence, par r. 

 le nombre qui exprime combien les faces du polyèdre 

 eu question ont de côtés et par I, le quotient de la 

 même quantité par le nombre exprimant combien il y 

 a d'arêtes qui aboutissent à chaque sommet. {De sorte 

 que J^ et L ne peuvent avoir que les valeurs suivantes : 

 36°, 45°, 60°, comptant 360° pour la circonférence.) 



D'après des formules trigonométriques connues, 

 nous obtiendrons : 



a col k 



P = 2- — T' 



cos - 



ou bien, en éliminant I, nous aurons : 

 a cos II 



~ Ysin^ Il — cos- L 



ce qui vent dire que le rayon de la sphère transinscrile 

 est égal à la moitié de l'arête multipliée par le rapport 

 de la coiangente de k au cosinus de la moitié de l'incli- 

 naison entre les faces. Connaissant donc l'espèce ei la 

 nature du polyèdre, on peut toujours calculer aisément 

 le rayon de la sphère qui lui est transinscrite, par suite 

 sa surface et son volume, et, réciproquement, l'arête, 

 la surface et le volume du polyèdre, si ce rayon est 

 connu. 



La simplicité des formules qu'on trouve comparaii- 

 vement à celles qui correspondent aux sphères inscrite 

 et circonscrite donne un immense avantage à l'emploi 

 de ces sphères sur les autres, et je ne doute pas que 

 leur 'considération facilitera beaucoup l'étude des 

 polyèdres et simplifiera bien des calculs. Outre cela, 

 les sphères Iransinscrites ont beaucoup de propriétés 

 fort curieuses : 



I. La sphère transinsnrite au tétraèdre est moyenne pro- 

 portionnelle entre les sphères qui lui sont inscrite et cir- 

 conscrite ; 



-2. La sphère transinscrile à Toctaédre est moyenne pro- 

 portionnelle entre les sphères Iransinscrites au cube et au 

 tétraèdre de même arèle ; 



3. Si l'on construit un parallèlipipède rectangle avec les 

 rayons des sphères transinscrites au tétraèdre, au cube et 

 à toctaédre de même arête, son volume sera égal au cube 

 dont l'arête n'est que la moitié de celle des polyèdres 

 considères ; 



4. Lu différence entre le rayon de la sphère transinscrite 

 au dodécaèdre et à l'icosaèdre de même arête est égale à la 

 moitié de cette arête. 



5. Sii on construit un triangle èquilatêral avec le rayon 

 de la Sfhère inscrite à l'icosaèdre et qu'on lui circonscrive 

 un cercle, le rayon de ce cercle s'.ra le tiers du rayon de la 

 sphère transinscrite au dodécaèdre de même arête. 



La démonstration de ces théorèmes n'offre aucune 

 difficulté et chaque géomètre un peu expérimenté dans 

 l'Analyse les établira sans peine. 



Je pourrais citer encore d'autres propriétés de ces 

 curieuses sphères; mais, ce que j'en ai dit suffit déjà 

 à en montrer l'importance et à faire saisir le rôle 

 utile qu'elles sont appelées à jouer dans les questions 

 de Géométrie, notamment dans le calcul des éléments 

 des polyèdres réguliers, oij, ainsi que je l'ai déjà fait 

 voir, elles remplacent avantageusement les sphères 

 inscriie et circonscrite à cause de la simplicité relative 

 de leurs formules. 



J'ajouterai qu'elles jouent un grand rôle en Optique 

 dans la réfraction double (phénomène produit par cer- 



tains cristaux), ainsi que dans la polarisation de la 

 lumière. 



Je terminerai cet article en appelant l'attention du 

 lecteur sur un fait assez curieux: — c'est que ces 

 sphères rétablissent la symétrie des polyèdres conju- 

 gviés, dérangée par lessphères inscrites et circonscrites. 

 On sait qu'à chaque propriété descriptive ou métrique 

 d'un polyèdre répond une propriété analogue de son 

 conjugué. Or, parmi tous les polyèdres, il n'y avait jus- 

 qu'à présent que le cube seul qui s'exprimait ration- 

 nellement en fonction du rayon de sa sphère inscrite. 

 Etl'ectivement, aucun autre polyèdre régulier ne peut 

 être exprimé en fonction rationnelle ni du rayon de sa 

 sphère inscrite, ni de la circonscrite, pas même son 

 conjugué, l'octaèdre ne jouissait d'aucune propriété 

 analogue. Ce fait singulier avait déjà piqué la curiosité 

 de bien des géomèlres, qui, ne voulant pas admettre 

 qu'il y ait injustice de la part du Créateur, surtout 

 concernant les choses inanimées, ne pouvaient com- 

 prendre pourquoile cube seul était favorisé en cela aux 

 dépens de son conjugué. C'était comme un défi jeté à 

 l'esprit iiumain, cette irrégularité inconcevable!... 



Actuellement, cette anomalie n'existe plus, et l'oc- 

 taèdre a reconquis l'avantage que le cube, son conju- 

 gué, avait sur lui, car, à son tour, il est le seul polyèdre 

 régulier qui s'exprime rationnellement en fonction du 

 rayon de sa sphère transinscrile; son arête est égale 

 au double de ce rayon, tout juste comme celle du cube 

 est égale au double du rayon de sa sphère inscrite. 



On peut encore conclure de là que les sphères trans- 

 inscrites font le pendant des sphères inscrites, ou, 

 comme on dit en Géométrie, leur sont conjuguées. 

 Père Cyprien, 



Moine du Mont-Athos. 

 Ci-devant Prince C. Wiusciiisk]/, crploralenr. 



i:; 2. — Mines 



Découverte d'une mine de mica. — M. Sclial- 

 tenberg, directeur du Musée Polytechnique de la pro- 

 vince de Cordoba (République Argentine), nous annonce 

 la découverte d'une mine importante de mica dans les 

 montagnes de Cordoba. Le mica y existerait sous formes 

 de lames de 6 à 30 centimètres de côté, facilement cli- 

 vables en feuilles minces, susceptibles de rivaliser avec 

 les meilleures marques du Canada. Le laïc y est associé; 

 il s'y trouve en partie sans tache, et est alors de pre- 

 mière qualité, et en partie avec quelques taches 

 noires. 



§ 3. — Géographie et Colonisation 



Deii.v nouveaux câbles sous-marins fran- 

 çais. — Le Parlement a volé en mars 1806 une loi 

 relative à l'établissement, l'entretien et l'exploitation 

 de communications télégraphiques entre la France, 

 l'Amérique du Nord et les Antilles. A cette loi était 

 annexée une convention passée entre les représentants 

 du Gouvernemriil lianr.iis, d'une part, et les représen- 

 tants de la Cniii|i,ii'iih' française des Câbles 'félégra- 

 phiques, d'autre p.iil. Ollr-c'i s'engageait à faire cons- 

 truire immédiatement deux câbles sous-marins reliant 

 les Antilles à New-Yoïk et New-York à Brest. L'entre- 

 prise était colossale, car si le câble Antilles-New-York 

 ne devait pas dépasser comme dimensions les types 

 déjà existants, il fallait, par contre, le poser à des pro- 

 fonileurs qu'on n'avait pas encore atteintes et qui, en 

 certains points, sont de 6.000 mètres environ. 



Quant au câble de New- York-Brest, il était, tant par 

 sa longueur que par son diamètre et son poids, supé- 

 rieur à tout ce qui avait été fait jusqu'alors. 



La Compagnie Française des Câbles Télégraphiques, 

 pour remplir ses engagements, avait à trouver un cons- 

 tructeur qui voulût bien assumer la lourde responsabi- 

 lité de vaincre les difficultés sans nombre du problème 

 qu'elle avait posé ; elle choisit la Société Industrielle 

 des Téléphones. 



