G. WEISS — L'ANx\LYSE DUNE COURBE PÉRIODIQUE 



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L'AIVÂLYSE D'UNE COURBE PÉRIODIQUE 



PAR LE PROCÉDÉ DE LUDIMAR UERMANN 



Au cours de ses recherches sur le timbre des 

 voyelles, Hermann ' s'est proposé de retrouver les 

 sirtussoïdes constituant une courbe périodique don- 

 née. Cette opération est généralement fort labo- 

 rieuse; le procédé de Hermann est rapide, très 

 simple et d'une précision très suffisante. C'est ce 

 qui nous a engagé à le faire connaître. 



I 



Une courbe périodique peut toujours se repré- 

 senter par une série de Fourier de la forme : 



// = A„ -f- A, cos .1- + A, cos 2x + ... + B, sin .c + B, sin 2.r -|- ... 



L'association de deux termes de même rang en 

 cos et sin, par exemple A„ cos 7}x -\- B„ sin nx, 

 représente la sinussoïde de longueur d'onde n fois 

 plus petite que la longueur d'onde de la courbe 

 périodique donnée. 



L'ordonnée maxima de la sinussoïde est donnée 

 par 



et la phase par 



C„ = y/A,r+ U„' 



y = arc tg 



Enfin, l'énergie correspondant à chaque sinus- 

 soïde dans un temps déterminé est donnée par 

 e. = r.= 



e, = 4 C! 

 63 = a C5 



Le problème sera donc complètement résolu par 

 la détermination des coefficients A et B. 



Supposons que le terme tout connu A, soit nul; 

 cela revient à déplacer l'axe des x; dans la plupart 

 des cas, cela n'a aucun intérêt. Si cependant on 

 désirait connaître A„, ayant toutes les autres va- 

 leurs Â„ et B„ , il suffirait de mesurer sur la courbe 

 une valeur particulière de y, par exemple celle 

 qui correspond à j = 0, et de tirer A^ de la 

 formule. 



Le procédé de Hermann donne les vingt premières 

 valeurs de A et B; voici le manuel opératoire : 



On marque sur la courbe à étudier les deux 

 extrémités d'une période, et l'on mesure dans cet 

 intervalle quarante ordonnées équidistantes, la 

 première étant l'ordonnée à l'origine qui se re- 



' Voir : L'inscription des phénomènes phonétiques, p;ir 

 M . J. Maiiey, Revue générale des sciences pures et appli- 

 quées du 30 Juin 1898. 



trouve comme quarante et unième ordonnée. L'axe 

 des X choisi doit être tel que toutes les ordonnées 

 soient positives. 



On inscrit toutes ces ordonnées dans une même 

 colonne, à la suite les unes des autres, sur un 

 papier quadrillé. 



Dans une table dressée par Hermann, on cherche 

 les produits de chaque ordonnée par cos 9° 

 cos 18°, etc., etc.. cos 90°, l'angle variant de 9» 

 en 9°. On inscrit ces produits à la suite les uns des 

 autres, dans la ligne de l'ordonnée correspondante, 

 chaque produit occupant un carré comme dans le 

 tableau de Hermann. On a ainsi un tableau com- 

 prenant -40 lignes et 11 colonnes. 



Sur ce tableau, on applique successivement une 

 série de papiers fenêtres, et l'on fait la somme 

 algébrique des nombres qui apparaissent dans les 

 fenêtres. Ces fenêtres portent le signe -|- ou le 

 signe — , suivant que le terme correspondant est 

 additif ou soustraclif. 



Il y a un papier fenêtre spécial pour chaque 

 terme A„ ; en le retournant face pour face, on a le 

 papier fenêtre correspondant au terme B„. 



Les opérations se font très vite, car le tableau de 

 Hermann donnant les valeurs de y cos x ne com- 

 porte pas de décimales ; les plus forts nombres sont 

 de trois chiffres. 



Pour me rendre compte du degré d'approxima- 

 tion que l'on obtient ainsi, j'ai fait la synthèse 

 d'une courbe périodique, comprenant les sinus- 

 soïdes de période 1, 2, 3, 4, 8, 12, 10, 20. Puis 

 j'ai cherché, en appliquant la méthode de Hermann, 

 à extraire de cette courbe périodique les sinussoïdes 

 introduites. 



Voici les résultats obtenus : 



sTRODUITE ORDONNEE EXTRAITE 

 99,1 



32,1 

 :i 3i,2 



;; ai, 4 



3 34, i 



U,0 

 21,4 



Je n'ai pu extraire la dernière sinussoïde, n'ayant 

 pas le papier fenêtre correspondant. 



L'ordonnée extraite comporte des décimales, 

 parce qu'il faut diviser par 20 le nombre trouvé 

 après addition algébrique des divers termes. J'ai 

 déjà dit que ces termes ne comportent pas de déci- 



