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H. POIXCARÉ — RÉFLEXIONS SUR LE CALCUL DES PROBABILITÉS 



RÉFLEXIONS SUR LE CALCUL DES PROBÂRILITÉS 



Le nom seul de calcul des probabilités est uu para- 

 doxe : la probabilité, opposée à la certitude, c'est 

 ce qu'on ne sait pas, et comment peut-on calculer 

 ce que l'on ne connaît pas? Cependant, beaucoup 

 de savants éminents se sont occupés de ce calcul, 

 et l'on ne saurait nier que la science n'en ait tiré 

 quelque profit. Comment expliquer cette apparente 

 contradiction? 



La probabilité a-t-elle été définie? Peut-elle 

 même être définie? Et, si elle ne peut l'être, com- 

 ment ose-t-on en raisonner? La définition, dira-t-on, 

 est bien simple : la probabilité d'un événement est 

 le rapport du nombre des cas favorables à cet évé- 

 nement au nombre total des cas possibles. 



Un exemple simple va faire comprendre combien 

 cette définition est incomplète. Je jette deux dés; 

 quelle est la probabilité pour que l'un des deux dés 

 au moins amène un six? Chaque dé peut amener 

 six points dilTérenls : le nombre des cas possibles 

 est 6 X = 3(1; le nombre des cas favorables est 



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U ; la probabilité est^- 



C'est là la solution correcte. Mais ne pourrais-je 

 pas dire tout aussi bien : Les points amenés par les 



deu.x des peuvent former ■ — ^ — 



: 21 combinaisons 



différentes? Parmi ces combinaisons, 6 sont favo- 

 rables; la probabilité est ^• 



Pourquoi la première manière d'énuméror les 

 cas possibles est-elle plus légitime que la seconde? 

 En tous cas, ce n'est pas notre définition qui nous 

 l'apprend. 



On est donc réduit à compléter cette définition en 

 disant : "... au nombre total des cas possibles, 

 pourvu que ces cas soient éf^alement probables. » 

 Nous voilà donc réduits à définir le probable par le 

 probable. 



Comment saurons-nous que deux cas possibles 

 sont également probables? Sera-ce par une con- 

 vention? Si nous plaçons au début de chaque pro- 

 blème une convention explicite, tout ira bien ; nous 

 n'aurons plus qu'à appliquer les règles de l'arithmé- 

 tique et de l'algèbre et nous irons jusqu'au bout du 

 calcul sans que notre résultat puisse laisser place 

 au doute. Mais, si nous voulons en faire la moindre 

 application, il faudra démontrer que notre conven- 

 tion était légitime, et nous nous retrouverons en 

 face de la difficulté que nous avions cru éluder. 



Dira-t-on que le bon sens sutfit pour nous 

 apprendre quelle convention il faut faire? Hélas 1 

 M. Bertrand s'est amusé à traiter un problème 



simple : << Quelle est la probabilité pour que, dans 

 une circonférence, une corde soit plus grande que 

 le cùté du triangle équilatéral inscrit? » L'illustre 

 géomètre a adopté successivement deux conven- 

 tions que le bon sens semblait également imposer, 



et il a trouvé avec l'une -;, avec l'autre rr- 



La conclusion qui semble résulter de tout cela, 

 c'est que le calcul des probabilités est une science 

 vaine, qu'il faut se défier de cet inslinct obscur que 

 nous nommions bon sens et auquel nous deman- 

 dions de légitimer nos conventions. 



Mais, cette conclusion, nous nepouvons non plus 

 y souscrire; cet instinct obscur, nous ne pouvons 

 nous en passer; sans lui la science serait impos- 

 sible, sanslui nous nepourrions ni découvrirune loi, 

 ni l'appliquer. Avons-nous le droit, par exemple, 

 d'énoncer la loi de Newton? Sans doute, de nom- 

 breuses observations sont en concordance avec 

 elle ; mais n'est-ce pas là un simple efl'et du hasard? 

 comment savons-nous d'ailleurs si cette loi, vraie 

 depuis tant de siècles, le sera encore l'an prochain? 

 A cette objection, vous ne trouverez rien à ré- 

 pondre, sinon : « Cela est bien peu probable ». 



Mais admettons la loi; grâce à elle, je crois pou- 

 voir calculer la position de Jupiter dans un an. En 

 ai-jele droit? qui me dit qu'une masse gigantesque, 

 animée d'une vitesse énorme, ne va pas d'ici-là 

 passer près du système solaire et produire des per- 

 turbations imprévues? Ici encore il n'y a rien à ré- 

 pondre, sinon : « Cela est bien peu probable ». 



A ce compte, toutes les sciences ne seraient que 

 des applications inconscientes du calcul des proba- 

 bilités; condamner ce calcul, ce serait condamner 

 la science tout entière. 



J'insisterai moins sur les problèmes scientifiques 

 oii l'iulervention du calcul des probabilités est plus 

 évidente. Tel est en première ligne celui de l'inter- 

 polation, 011, connaissant un certain nombre de 

 valeurs d'une fonction, on cherche à deviner les va- 

 leurs intermédiaires. 



Je citerai également : la célèbre théorie des erreurs 

 d'observation, sur laquelle je reviendrai plus loin ; 

 la théorie cinétique des gaz, hypothèse bien con- 

 nue, où chaque molécule gazeuse est supposée dé- 

 crire une trajectoire extrêmement coui|iliquée, 

 mais où, par l'effet des grands nombres, les phéno- 

 mènes moyens, seuls observables, obéissent à des 

 lois simples (jui sont celles de Mariette et de Gay- 

 Lussac. 



Toutes ces théories reposent sur les lois des 

 grands nombres, et le calcul des probabilités les 



