H. POmCARÉ - RÉFLEXIONS SUR LE CALCUL DES PROBABILITÉS 



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Au lieu (le faire la ?omme el do diviser par 10.000, 

 je calcule l'inléyrale de noire expression depuis 



1 1 



5 jusqu'à lO.OOO + 5 el je divise par 10.000. Je 



démonirerais aisénienl que l'ei 

 est jihis pelile que : 



reur ainsi commise 



,+ 



<: 



i 



10.000"^ 10.000. 000^ 1.000' 



el ensuite, en inléL^rant par parties, que l'intégrale 

 divisée par 10.000 est elle-même plus petite que : 



,+ 



1,1 



<; 



■ 1.000 Ji loge ^ 1.000 71 log'e ^500 



Pour établir ce double résultat, je n'ai besoin que 

 de m'appuyer sur deux faits, à savoir que les déri- 

 vées première el seconde du logarithme restent, 

 dans l'intervalle considéré, comprises entre cer- 

 taines limites. 



D'où cette première conséquence que la propriété 

 est vraie non seulement du logarithme, mais d'une 

 fonction continue quelconque, puisque les dérivées 

 de toute fonction continue sont limitées. 



Si j'étais certain d'avance du résultat, c'est d'a- 

 bord que j'avais souvent observé des faits analogues 

 pour d'autres fonctions continues ; c'est ensuite 

 parce que je faisais dans mon for intérieur, d'une 

 façon plus ou moins inconsciente et imparfaite, le 

 raisonnement qui m'a conduit aux inégalités pré- 

 cédentes, comme un calculateur qui, avant d'avoir 

 achevé une multiplication, se rend compte que 

 « cela va faire à peu près tant ». 



Et d'ailleurs, comme ce que j'appelais mon inlui- 

 lion n'était qu'un aperçu incomplet d'un véritable 

 raisonnement, on s'explique que l'observation ait 

 confirmé mes prévisions, que la probabilité objec- 

 tive ait été d'accord avec la probabilité subjective. 



Comme troisième exemple, je choisirai le pro- 

 blème suivant : Un nombre u est pris au hasard, n 

 est un entier donné très grand ; quelle est la valeur 

 probable de sin nu? Ce problème n'a aucun sens 

 par lui-même. Pour lui en donner un, il faut une 

 convention ; nous conviendrons que la probabilité 

 pour que le nombre u soit compris entre les limites 

 a et b est : 



) [u] du , 



/' 



^ ((/) étant une fonction que je choisis arbitraire- 



.i'avais d'abord posé se ramène à la recherclif de la valeur 

 moyenne de l'e.xpressioii : 



"'h'O + îra)]' 



F !y) /-tant une fonction qui est égale à -f- i, n la troi- 

 sième décimale de ;/ est paire, et à — 1 si elle est impaire. 

 Or, celle fonction, comme sin 1.000 ny. est une fonction 



1 

 périodiijue dont la période est rrrr . 



ment, mais que je suppose continue. La valeur de 

 sin nu restant la même quand u augmente de âir, 

 je puis, sans restreindre la généralité, supposer que 

 u est compris entre el 27ret je serai ainsi conduit 

 à suppos(U' que cp [u) est une fonction jjèriodique 

 dont la période est Stt. Comme je suis certain que m 

 est compris entre et 2t:, comme, en d'autres 

 termes, la probabilité de cet événement est égale à 

 1, j'aurai: 



/■ 



(f [u) (lu = l. 



La valeur probable cherchée est : 



/■ 



9 (u) fin nu du , 



et il est aisé de montrer que cette intégrale est plus 

 petite que : 



2iiM( 



Mt étant la plus grande valeur de la dérivée k^ 

 de <j) (w). On voit donc que, si la dérivée k" est finie, 

 notre valeur probable tendra vers zéro quand n 



1 



croîtra indéfiniment et cela plus vile que ^_i - 



La valeur probable de sin nu pour n très grand 

 est donc nulle ; pour définir cette valeur, j'ai eu 

 besoin d'une convention ; mais le résultat reste le 

 même quelle que soit celte convention. Je ne me suis 

 imposé que de faibles restrictions en supposant que 

 la fonction !p(u) est continue et périodique, et ces 

 hypothèses sont tellement naturelles qu'on se 

 demande comment on pourrait y échapper. 



L'examen des trois exemples précédents, si dif- 

 férents à tous égards, nous a fait déjà entrevoir 

 d'une part le rôle de ce que les philosophes appel- 

 lent le principe de raison suffisante, el d'autre part 

 l'importance de ce fait que certaines propriétés 

 sont communes à toutes les fonctions continues. 

 L'élude de la probabilité dans les sciences physi- 

 ques nous conduira au même résultat. 



III. — La PliOBABILITÉ DANS LES SCIENCES PHYSIQUES. 



Arrivons maintenant aux problèmes qui se rap- 

 portent à ce que j'ai appelé plus haut le second 

 degré d'ignorance ; ce sont ceux où l'on connaît la 

 loi, mais où on ignore l'élat initial du système. Je 

 pourrais multiplier les exemples, je n'en prendrai 

 qu'un : Quelle est la distribution actuelle probable 

 des petites planètes sur le zodiaque '? 



Nous savons qu'elles obéissent aux lois de Kepler; 

 nous pouvons même, sans rien changer à la nature 

 du problème, supposer que leurs orbites sont toutes 

 circulaires et situées dans un même plan et que 

 nous le sachions. En revanche, nous ignorons abso- 

 lumentquelle était leur distribution initiale. Cepen- 



