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H. POINCARÉ — RÉFLEXIONS SUR LE CALCUL DES PROBABILITÉS 



dant nous n'hésitons pas à affirmer qu'aujourd'hui 

 cette distribution est à peu près uniforme. Pour- 

 quoi ? 



Soit b la longitude d'une petite planète à l'époque 

 initiale, c'est-à-dire à l'époque ; soit n son moyen 

 mouvement ; sa longitude à l'époque actuelle, c'est- 

 à-dire à l'époque t, sera al -{- h. Dire que la distri- 

 bution actuelle est uniforme, c'est dire que la valeur 

 moyenne des sinus et des cosinus des multiples de 

 at -{-b est nulle. Pourquoi l'aftirmons-nous ? 



Soit tp (a, /() da db la probabilité pour que le 

 moyen mouvement d'une petite planète soit com- 

 pris entre a et a-\-da et que sa longitude initiale 

 soit comprise entre b et ô-j-c/è. La valeur moyenne 

 de sin {al-\- b) sera donnée par l'intégrale double : 



fff [a.b) sin {at + b) dadb. 



\e sachant rien de la distribution initiale, je ne 

 sais rien de la fonction cp (a, b) ; je n'ai pas plus de 

 raison pour choisir telle fonction plutôt que telle 

 autre ; je serai cependant conduit à choisir une 

 fonction continue. Si je suppose, par conséquent, 

 que la fonction cp a des dérivées, noire intégrale 

 double deviendra, en intégrant successivement par 

 parties: 



Jy7£^°="''+*)"«"*'-Fj(7'S^'"('''+ 



h)diidb,... 



1 1 



La présence des facteurs -• -^ nous montre 



qu'elle tend vers zéro quand / augmente. 



Ainsi, je ne savais trop quelle hypothèse faire au 

 sujet de la probabilité de telle ou telle distribution 

 initiale ; mais, quelle que soit l'hypothèse faite, le 

 résultat sera le même et c'est ce qui me tire d'em- 

 barras. 



Quelle que soit la fonction cp, la valeur moyenne 

 tend vers zéro quand l augmente, et comme les 

 petites planètes ont certainement accompli un très 

 grand nombre de révolutions, je puis affirmer que 

 cette valeur moyenne est très petite. 



Je puis choisir cp comme je le veux, sauf une res- 

 triction toutefois : cette fonction doit être continue; 

 et, en effet, au point de vue de la probabilité sub- 

 jective, le choix d'une fonction discontinue aurait 

 été déraisonnaiile ; quelle raison pourrai-je avoir, 

 par exemple, de supposer que la longitude initiale 

 peut être égale à 0° juste, mais qu'elle ne peut être 

 comprise entre 0° et 1°? 



Mais la difficulté reparaît si l'on se place au point 

 de vue de la probabilité objective. 



La valeur moyenne de sin {al-\-b) sera repré- 

 sentée tout siinplcnicnl par : 



- y sin {at -\- b). 



?i étant le nombre des petites planètes. Au lieu 

 d'une intégrale double portant sur une fonction 

 continue, nous avons une somme de termes dis- 

 crets. Et pourtant personne ne doutera sérieuse- 

 ment que cette valeur moyenne ne soit effective- 

 ment très petite. 



C'est que notre somme discrète diflférera en gé- 

 néral très peu d'une intégrale. 



Une intégrale est la limite vers laquelle tend une 

 somme de termes quand le nombre de ces termes 

 croit indéfiniment. Si les termes sont très nom- 

 breux, la somme différera très peu de sa limite, 

 c'est-à-dire de l'intégrale, et ce que j'ai dit de celle 

 dernière sera encore vrai de la somme elle-même. 



Il y a des cas d'exception néanmoins. Si, par 

 exemple, l'on avait pour toutes les petites pla- 

 nètes : 



b = ^— al , 



la valeur moyenne serait évidemment égale à 1. 

 Pour cela, il faudrait qu'à l'époque 0, les petites 

 planètes eussent été toutes placées sur une sorte de 

 spirale d'une forme particulière à spires extrême- 

 ment serrées. Tout le monde jugera qu'une pareille 

 distribution initiale est extrêmement improbable 

 (et, même en la supposant réalisée, la distribution 

 ne serait pas uniforme à l'époque actuelle, par 

 exemple le 1"'' janvier 1900, mais elle le redevien- 

 drait quelques années plus tard). 



Toutefois, pourquoi jugeons-nous celle distribu- 

 tion initiale improbable? Il est nécessaire de l'expli- 

 quer, car, si nous n'avions pas de raison de rejeter 

 comme invraisemblable celte hypothèse saugrenue, 

 tout s'écroulerait et nous ne pourrions plus rien 

 affirmer au sujet de la probabilité de telle ou telle 

 distribution actuelle. 



Ce 'que nous invoquerons, c'est encore le prin- 

 cipe de raison suffisante, auquel il faut toujours 

 revenir. ÎNous pourrions admettre qu'à l'origine 

 les planètes étaient distribuées à peu près en 

 ligne droite ; nous pourrions admettre qu'elles 

 étaient irrégulièrement distribuées; mais il nous 

 semble qu'il n'y a pas de raison suffisante pour que 

 la cause inconnue qui leur a donné naissance, ail _, 

 agi suivant une courbe si régulière et pourtant si I 

 compli([uôe, et qui paraîtrait j»r(!'cisénn'nl avoir été 

 clioisie exprès pour que la distribution actuelle ne 

 fût lias uniforme. 



IV. 



Roi'GE ET Noir. 



Les questions soulevées par les jeux de hasard, 

 conmie celui de la roulette, sont, au fond, tout à 

 fait analogues à celles que nous venons de traiter. 



Par exemple, un cadran est partagé en un grand 

 nombre de subdivisions égales, alternativement 



