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H. POI^X"ARÉ — Rl^FLEXÏONS SUR LK CALCUL DES PROBABILITÉS 



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roiif?os et, noirrs; une aiguille rst lancée avec force, 

 et, après avoir lait un Kr^»"*^' nombre de loiirs, elle 

 s'arrête devant une de ces subdivisions. La proba- 

 liilité, pour que celle division soit rouge, est évi- 



1 



demment ^j- 



L'aiguille va tourner d'un angle 0, comprenant 

 plusieurs circonférences; j'ignore quelle est la pro- 

 babilité pour que laiguille soil lancée avec une 

 force telle que cet angle soit compris entre 6 et 

 ()-(-rf6; mais, je puis faire une convention; je puis 

 supposer que celte probabilité est cpfO)(/f); quant à 

 la fonction 9(6), je puis la clioisir d'une façon entiè- 

 rement arbitraire: il n'y a rien qui puisse me gui- 

 der dans mon choix; cependant, je suis naturelle- 

 ment conduit à supposer celte fonction continue. 



Soit £ la longueur (comptée sur la circonférence 

 de rayon 1} de chaque subdivision rouge ou noire. 

 Il faut calculer l'intégrale /-f(6)rf6 en l'étendant, 

 d'une i>art, à toutes les divisions rouges, d'autre 

 part, à toutes les divisions noires, et conqiarer les 

 résultats. 



Considérons un intervalle 2e, comprenant une 

 division rouge et la division noire qui la suit. 

 Soil M et ?n, la plus grande et la plus petite valeur 

 de la fonction tp(6) dans cet intervalle. L'intégrale 

 étendue aux divisions rouges sera plus petite que 

 2M£; l'intégrale étendue aux divisions noires sera 

 plus grande que ^me; la différence sera donc plus 

 petile que liiM — ?/i)£. Mais, si la fonction cp est sup- 

 posée continue; si, d'autre part, l'intervalle e est 

 très petit par rapport à l'angle total parcouru par 

 l'aiguille, la différence M — m sera très petile. La 

 ditlérence des deux intégrales sera donc très petite, 



et la probabilité sera très voisine de -^' 



On comprend que, sans rien savoir de la fonc- 

 tion s, je doive agir comme si la probabilité 



î . . 



était 5- On s'explique, d'autre part, pourquoi, si, 



me plaçant au point de vue objectif, j'observe un 

 certain nombre de coups, l'observation me donnera 

 à peu près autant di; coups noirs que de coups 

 rouges. 



Tous les joueurs connaissent celle loi objective; 

 mais elle les entraîne dans une singulière erreur, 

 qui a été souvent relevée, et dans laquelle ils 

 retombent toujours. Quand la rouge est sortie, par 

 exem|)le, six fois de suite, ils mettent sur la noire, 

 croyant jouer à coup sûr; parce que, disent-ils, il 

 est bien rare que la rouge sorte sept fois de suite. 



1 



En réalité, leur probabilité de gain reste ^• 



L'observation montre, il est vrai, que les séries de 

 sept rouges consécutives sont très rares; mais, les 

 séries de six rouges suivies d'une noire sont tout 



aussi rares. Ils ont remarqué la rareté des séries 

 de sept rouges; s'ils n'ont pas remarqué la rareté 

 des séries de six rouges et une noire, c'est unique- 

 ment parce que de pareilles séries frapi)ent moins 

 l'allention. 



V. 



La Prou.\biuté des C.\rsES. 



J'arrive aux prolilèmes de probabilité des causes, 

 les plus importants au point de vue des applica- 

 tions scientifiques. Deux étoiles, par exemple, sont 

 très rapprochées sur la sphère céleste ; ce rappro- 

 chement apparent est-il un pur effet de hasard, et 

 ces étoiles, quoique à peu près sur un même rayon 

 visuel, sont-elles placées à des distances très diff'é- 

 rentes de la Terre et, par conséquent, très éloignées 

 l'une de l'autre ? Ou bien, correspond-il à un rap- 

 prochement réel? C'est là un problème de probabi- 

 lité des causes. 



Je rappelle d'abord qu'au début de tous les pro- 

 blèmes de probabilité des effets qui nous ont occu- 

 pés jusqu'ici, nous avons toujours dû placer une 

 convention plus ou moins justifiée. Et, si le plus 

 souvent le résultat était, dans une certaine mesure, 

 indépendant de celle convention, ce n'était qu'à la 

 condition de certaines hypothèses qui nous per- 

 mettaient de rejeter a priori les fonctions discon- 

 tinues, par exemple, ou certaines conventions sau- 

 grenues. 



Nous retrouverons quelque chose d'analogue, en 

 nous occupant de la probabilité des causes. Un effet 

 peut être produit par la cause A ou par la cause B. 

 L'effet vient d'être observé; on demande la proba- 

 bilité pour qu'il soit dii à la cause A; c'est la pro- 

 babilité de la cause a posteriori. Mais, je ne pour- 

 rais la calculer, si une convention plus ou moins 

 justifiée ne me faisait connaître d'avance ([uelle est 

 la probabilité a priori, pour que la cause A entre en 

 action; je veux dire la probabilitc' de cet événe- 

 ment, pour quelqu'un qui n'aurait pas encore 

 observé l'efl'el. 



Four mieux m'expliquer, je reviens à l'exemple 



du jeu d'écarté, cité plus haut; mon adversaire 



donne pour la première fois et il tourne le roi; 



quelle est la probabilité pour que ce soit un grec? 



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 Les formules ordinairement enseignées donnent g» 



résultat évidemment bien surprenant. Si on les 

 examine de plus près, on voit qu'on fait le calcul 

 comme si, auarit de nous asseoir à la table de jeu, 

 j'avais considéré qu'il y avait une chance sur deux 

 pour que mon adversaire ne fût pas honnête. Hypo- 

 thèse absurde, puisque, dans ce cas, je n'aurais 

 certainement pas joué avec lui ; et c'est ce qui 

 explique l'absurdité de la conelusi(ni. 



La convention sur la probabilité a priori était 



