742 



R. LEZÉ — ÉMULSIONS ET CRISTAUX 



Proposons-nous de chercher ce rapport dans le 

 cas où l'on voudrait remplir de très petites billes, 

 avec le moins de vides possibles, un vase de forme 

 cubique à parois légèrement déformables. Nous 

 pouvons admettre deux modes différents de rem- 

 plissage, ou d'arrangement. On va, par exemple, 

 ranger les billes en files parallèles de n billes, 

 les centres formant deux systèmes de lignes 

 droites orthogonales, puis étaler sur ce fond une 

 deuxième rangée horizontale dans les vides. On 

 forme ainsi des tiles parallèles aux premières, dans 

 un plan horizontal, dont la distance au premier égale 



2r 



-^^)-J->; un .'î^ plan de billes, louioui's au nombre 

 v/2 ^ ' 



de ?!-, peut suivre chacun de ces ]ilans. rentrant sur 



le précédent suivant certaines lignes, le dépassant 



suivant d'autres, de sorte qu'en somme on a un 



cube gaufré. 



Désignons par n' le nombre des billes en hauteur 



dans le cube ; on a : 



Le nombre total des billes est : n' X " v'- = "'^ V^^- 



,- 4 

 Leur volume est : n'y'!, -rizr^. Le voluaie du 



cube est 8n^;-\ Le quotient, rapport cherché' = 



4 1 v/2 



n^\/ï-^-Kr'. ^ , .. . C'est bien -k—^. 



Prenons une autre disposition possible : une 

 rangée de /) billes, puis une autre rangée parallèle, 

 mais dont les billes sont logées dans les vides de 

 la première; une autre rangée reproduisant la 

 première, etc. : 



En verticale, une rangée ilc n billes dans les 

 premiers interstices les billes étant tangentes à 

 trois billes hoi'izdotales, etc. : 



i'« rangée • n billes. 



■lit 



2" rangée perpendiculaire eu plan ïi'=^. 



v/3 



■I " 

 3« raneée en liaiileur h" ^ -= — =. 



V'2 ^'3 



2 » :î /) 



l^e nombio tut.'il n n' n" z= n-^..—= — ==/)'v2. 



s/:i v/2v'3 



_ 4 

 Leur volume = m' \/i . r i ;■■'. 



Le volume du cube —Sn'r'. 



Le rapport =:ic^' 



Si l'on avance un peu plus et que l'on recherche 

 la structure moléculaire de ces édifices, il est 

 facile de s'apercevoir que, dans ces deux derniers 

 cas, (jui résument toutes les combinaisons pos- 

 sibles, une bille quelconque est entourée de douze 

 billes tangentes géométriquement réparties. 



Il existe : 



Quatre groupes de trois billes ; 



Ou bien, trois groupes de quatre billes; 



Ou, enfin, quatre systèmes de six billes avec une 

 bille conmmne à deux systèmes; 



Il y a donc dans l'ensemble : 



Trois axes quaternaires; 



Quatre axes ternaires; 



Et si, dans les deux cas, on mène les plans tan- 

 gents aux douze sphères aux points de contact, ces 

 plans décdupeul dans l'espace un polyèdre qui est 

 le dodécaèdre rliomboïdal. Ce solide peut être 

 construit de la manière suivante : 



Du centre d'un cube, on mène des arêtes aux 

 huit sommets, on découpe le cube en six pyra- 

 mides idenliques, et si, maintenant, l'on retourne 

 chacune de ces six pyramides sur la face corres- 

 pondante, si l'on construit sa symétrique, on forme 

 précisément le dodécaèdre cherché, dont le volume 

 est, d'après la construction même, égal au double 

 du volume primitif. Soit a l'arête du cube généra- 

 teur; le volume du dodécaèdre est 2 a^. La sphère 

 inscrite est tangente aux arêtes ; son rayon est 



«\/2 , -4 .,2v/2 , ' 1 - 



— T— ; son volume :-7t a' — ^;sonrapporlaupolye- 

 i .> o 



A .,2\/2 1 \/2 



dre envelopiiant est : ttto'— r^— • -—^^t:—-- 

 '^ .i 9-2(1 b 



11 est bien facile de démontrer que tout l'espace 



peut être subdivisé, sans vides, en dodécaèdres 



rhomboïdaux juxtaposés, de sorte que, d'après 



cette construction, on retrouve le rapport-limite 



v/2 

 ■'^ -p- pour les pleins au volume enveloppant. 



Ces résultats évoquent l'idée d'une cristallisation 

 avec cohésion maxima; il y a un rapprochement 

 curieux à établir entre cet arrangement de molé- 

 cules sphériques tangentes avec le minimum de 

 vides et la cristallisation de corps tels que le dia- 

 mant, les grenats, etc. 



Dans le carbone, on semble entrevoir quelque 

 rapprochement entre l'atomicité de -4 et le dodé- 

 caèdre du diamant, l'hexagone du graphite; dans 

 les grenats, la formule trahit cette structure de 

 dodécaèdre : H', R'", Si-', 0'- R' (Hant un radical 

 comme l'Aluminium ou le Fer. 



( In remarque, dans celte hypothèse de la cohé- 

 sion maxima, l'apparition du prisme hexagonal 

 avec deux pointements qui ne sont pas identiques ; 

 d'où tendance à l'hémiédrie, aux stries dans les 

 cristaux (Quartz). Ces stries doivent peut-être se 

 retrouver parfois dans la cristallisation en cube; et, 

 en effet, elles sont fréquentes dans les pyrites. 



Enfin, cette structure si intéressante de dodé- 

 caèdre nous fait soupçonner l'existence de certains 

 plans de cohésion minima, la tendance à des cli- 

 vages, celui de l'octaèdre entre autres, si net et si 



facile dans la fluorine. 



R. Lezé, 



Professeur ii l'Kcuie NaLionaU* d'Agriculture 

 de C.i'iiiiion. 



