G. MILHAUD — I.A GEOMRTIUE AU TKMPS DE PLATON 



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LA GÉOMÉTRIE AU TEMPS DE PLATON 



Les écrits de Platon sont pleins d'allusions à la 

 Géométrie, à rArithmétique, à la Musique, ù 

 l'Astronomie, et les Anciens ont écrit un certain 

 nombre de livres pour exposer les connaissances 

 mathématiques nécessaires à la lecture des dia- 

 logues. D'ailleurs, une tradition qui remonte pro- 

 bablement à Eudème, et qui, en tout cas, s'est 

 formée et conservée dans toute l'Antiquité, nous 

 présente Platon comme ayant déployé un zèle infa- 

 tigable pour la Géométrie et comme lui ayant fait 

 prendre un très grand essor. Il se serait particuliè- 

 rement occupé d'une méthode nouvelle de démon- 

 stration, Vatialijse, — du problème de la duplica- 

 tion du cube, — et aurait donné un puissant élan 

 à la théorie naissante des Sections coniques. Ce 

 qui est certain, c'est qu'il a connu un certain 

 nombre d'hommes qui tous ont leur nom inscrit 

 dans l'histoire de la Géométrie. C'est Théodore de 

 Cyrène, dont il suivit les leçons ; c'est Théétète, 

 qu'il a mis en scène dans le dialogue de ce nom; 

 c'est Eudoxe de Cnide, dont nous dirons le très 

 grand rôle dans la constitution des Éléments; c'est 

 Ménechme, qui passe pour avoir le premier étudié 

 les sections du cône; c'est le pythagoricien Ar- 

 chytas, avec qui Platon semble s'être lié d'amitié 

 en Sicile ; c'est Amyclas d'HéracIée ; c'est Dinos- 

 trate, frère de Ménechme; c'est Theudios de Ma- 

 gnésie, c'est Athénée de Cyzique, et d'autres, dont 

 Proclus nous dit qu'ils ont contribué, chacun pour 

 sa part, aux progrès de la Géométrie. Si nous ne 

 pouvons assigner avec précision l'œuvre person- 

 nelle de Platon, nous avons du moins la certitude 

 que, de son temps, près de lui, souvent peut-être, 

 comme l'indique Proclus, sous sa direction, un 

 travail énorme s'est accompli. L'admiration de 

 Platon pour les Mathématiques, qui déborde de ses 

 œuvres et qui se dégage de tout ce que la tradition 

 nous dit de lui, n'a donc rien d'extérieur ni de 

 superliciol. Il lésa connues, cultivées avec passion; 

 et, quand il demande, dans la République, aux 

 futurs philosophes, de s'enfermer longtemps dans 

 l'étude et dans la méditation de ces sciences, c'est 

 qu'il en a subi le charme puissant, et qu'il a le sen- 

 timent de puiser à leur source même ce qui peut le 

 mieux justifier l'élévation de ses doctrines. 



Mais il importe de connaître, au moins dans 

 leurs grandes lignes, les progrès de la Géométrie 

 au V et au iv"' siècle. Nous constaterons ensuite 

 que l'œuvre accomplie par les contemporains de 

 Platon n'ajoutait pas seulement à une liste déjà 

 longue un certain nombre de vérités nouvelles, 

 mais qu'elle était de nature à appeler tout particu- 



lièrement la pensée du géomètre sur des concep- 

 tions qui, si elles n'étaient pas tout à fait neuves, 

 prenaient désormais une signification plus pro- 

 fonde. 



I. — Les Incommensurables. — La Méthode 



INFINITÉSIMALE. 



Proclus, dans son résumé historique, signale 

 particulièrement Eudoxe et Théétète comme ayant 

 fait progresser la Géométrie. On peut se rendre 

 compte, en prenant pour guide M. P. Tannery ', 

 de l'importance de leurs travaux. 



D'une part, un passage de Suidas attribue à 

 Théétète la rédaction d'une élude sur les cinq 

 solides, c'est-à-dire sur les polyèdres réguliers, 

 qui font l'objet du livre XIII des Éléments. Ce qui 

 intéresse, d'ailleurs, dans l'étude de ces polyèdres, 

 telle que la présente Euclide, c'est la construction 

 du côté de chacun d'eux, étant connu le rayon de 

 la sphère circonscrite, et l'auteur des Éléments 

 fait intervenir des lignes irrationnelles de genres 

 spéciaux. Or, il est naturel d'attribuer à Théétète 

 la classification des irrationnelles, qui remplit le 

 X"" livre, d'après un passage du Théétète de Platon, 

 oïl le jeune géomètre, parlant des travaux qui se 

 poursuivent dans l'entourage de Théodore, s'élève 

 à une conception générale des lignes racines 

 carrées incommensurables d'aires rationnelles ; 

 son maître Théodore avait personnellement étudié 

 les racines de 3,o..., jusqu'à 17. Ces remarques se 

 confirment donc et montrent qu'on peut consi- 

 dérer comme due à Théétète toute la partie qui a 

 pour objet la classification des divers genres de 

 lignes irrationnelles, et l'application qui en est 

 faite aux polyèdres réguliers. Les pythagoriciens 

 avaient découvert, on le sait, l'incommensura- 

 bilité de la diagonale et du côté du carré ; en 

 d'autres termes, si l'on veut, ils avaient constaté le 

 caractère irrationnel de la ligne racine carrée de 2. 

 Leurs travaux à cet égard n'étaient pas allés bien 

 loin, puisque Théodore devait montrer l'irra- 

 tionalité de \J'A, et c'est au temps de Platon seu- 

 lement que les développements sur les irration- 

 nelles en général devaient prendre l'importance 

 d'un chapitre spécial de la Géométrie. 



Mais la notion générale d'incommensurabilité 

 n'est-elle pas, en dehors des racines carrées, im- 

 pliquée dans celle du rapport de deux grandeurs 

 de même espèce, toutes les fois que ce rapport 



' La Géométrie grecr/iie. Gauthier-Villar.-, 1887. 



