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G. MILHAUD — LA GÉOMÉTRIE AU TEMPS DE PLATON 



n'est pas numériquement exprimable? Et n'est-elle 

 pas dès lors enveloppée dans toute considération 

 sur les rapports de longueurs, de surfaces ou de 

 volumes, si seulement, en nommant ces rapports, 

 on s'abstient [de spécifier que les grandeurs sont 

 commensurables? En particulier, quand on écrit 

 que quatre longueurs forment une proportion, 

 sans aucune restriction sur la nature des rapports 

 qu'elles donnent deux à deux, n'implique-t-on pas, 

 consciemment ou non, l'idée d'incommensurabilité, 

 dont l'irrationalité de la racine carrée n'est qu'un 

 cas particulier? Si donc les pythagoriciens ma- 

 niaient depuis longtemps les médiétés, il est peut- 

 être d'un intérêt médiocre que Théétète, au temps 

 de Platon, soit venu donner quelques types parti- 

 culiers (les irrationnelles de divers genres), de 

 lignes incommensurables? Eh bien, si étonnani 

 que cela paraisse, nous avons les plus fortes raisons 

 de croire que les pythagoriciens n'avaient pas osé 

 accepter, dans sa généralité, la notion des incom- 

 mensurables ; qu'ils s'étaient bornés à noter le cas 

 de la diagonale, comme une scandaleuse exception ; 

 qu'ils n'avaient jamais manié dans leurs démon- 

 strations que des rapports supposés exprimables 

 numériquement; et qu'enfin c'est seulement avec 

 Eudoxe que la Géométrie allait décidément écarter 

 cette restriction. 



Des témoignages concordants permettent, en 

 effet, d'attribuer au Gnidien le contenu du v*^ livre 

 des Eléments. Ce livre débute par les définitions 

 tiiut à fait générales des notions de rapport et de 

 pr.jportion. 



Etant données deux grandeurs de même espèce, 

 ce qu'on nomme leur rapport, c'est, — avant toute 

 préoccupation de savoir si elle sera ou non repré- 

 sentable par un nombre arithmétique, — une cer- 

 tnine manière d'être quantitative des grandeurs, 

 l'une par rapport à l'autre. Et, si A, B — C, D, 

 sont deux couples de grandeurs, on dira que leurs 

 rapports deux à deux sont égaux, ou qu'elles 

 forment une proportion, si, quels que soient les 

 nombres entiers m et p, l'une des relations 



mA>;)B 

 mA<;<B 

 mA := pB 



entraîne l'égalité de même rang du tableau : 



7nC>pD 

 mC<pD 

 mC = pD<i). 



Ces définitions une fois posées, le V livre d'Eu- 

 clide expose toutes les propriétés des propor- 

 tions. 



On s'étonnera peut-être que quatre livres tout 



' Pour plus de clarté, nous employons les notations mo- 

 dernes. 



entiers, où se trouvent déjà les principaux théo- 

 rèmes de la Géométrie plane, aient pu se dérouler 

 sans que le géomètre fît jamais appel à la notion 

 de similitude. Et il est curieux, en effet, de cons- 

 tater que, dans toutes les occasions où cette idée 

 paraît être d'une application naturelle, Euclide 

 fait un détour pour s'en passer. Si nous observons 

 que les quatre premiers livres des Eléments sont 

 assurément les plus anciens, et remontent à peu 

 près complètement aux pythagoriciens eux-mêmes, 

 nous trouverons là un indice significatif du trouble 

 secret que leur causait la pensée des incommen- 

 surables, et nous apprécierons à sa valeur l'ini- 

 tiative d'Eudoxe. 



En même temps, nous pouvons attribuer au 

 même géomètre, — d'après un témoignage précis 

 d'.\rchimêde, — avec la mesure de la pyramide 

 et du cône, la méthode qui sert à l'obtenir, qui 

 sert aussi à démontrer que les aires de deux cercles 

 sont proportionnelles aux carrés de leurs rayons, 

 les volumes de deux sphères proportionnels aux 

 cubes de leurs rayons, et qui servira d'une façon 

 générale aux quadratures et aux cubatures d'Ar- 

 chimède. C'est la méthode infinitésimale des .an- 

 ciens. On la désigne souvent sous le nom de 

 méthode d'exhaustion. 



Pour éclairer ces indications par un exemple, 

 voici en substance la démonstration de la propor- 

 tionnalité des aires de deux cercles aux carrés de 

 leurs rayons, telle que la donne Euclide, et telle 

 que nous avons le droit de l'attribuer à Eudoxe : 

 Soient G et 0' deux cercles, D et D' leurs diamètres. 



D' 

 Supposons que le rapport — soit égal non pas à 



—, mais à —, 2 étant une aire différente de 0'; je 



dis qu'on sera conduit à une absurdité. Si, par 

 exemple. — est inférieur à 0', je pourrai inscrire 

 dans le cercle 0' un polygone régulier P' d'un assez 

 grand nombre de côtés pour que la différence entre 

 l'aire de ce polygone et celle du cercle 0' tombe 

 au-dessous de la différence entre i! et 0' : dès 

 lors, l'aire P' surpassera 2. Or, si en même temps 

 nous considérons le polygone régulier P, sem- 

 blable à P', inscrit dans le cercle 0. nous aurons 



P D' 



— ^— , et, d'après notre hypothèse, — 



D 







P' 2' 



2 

 enfin -5=—,, égalité absurde, car P est inférieure 



0, tandis que P' est supérieur à S. 



L'oeuvre d'Eudoxe marque un point culminant 

 dans le développement de la Géométrie. Il est vrai- 

 semblable qu'elle arrivait d'ailleurs à son heure, 

 préparée par les recherches de ses prédécesseurs 

 immédiats. La preuve en est dans le travail d'Hip- 

 pocrate de Chios sur la quadrature de certaines 



