G. MILHAUD - LA GÉOMÉTIHE AU TEMPS DE PLATON 



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luniilrs', (|ui date du milieu du v' siècle. La re- 

 conslilution assez récenle d'un texte d'Eudènie 

 cité par Simplicius- a jeté quelque lumière sur 

 ce travail, qu'il ne faut décidément confondre avec 

 aucune teuladve de quadrature du cercle, — en 

 dépit d'un mot d'Arislote, peut-être interpolé, — 

 et qui donne, au contraire, une assez haute idée 

 du géomètre Hippocrate. Ses raisonnements s'ap- 

 puient déjà sur la proportionnalité des aires de 

 deux cercles aux carrés des rayons, et des aires 

 de deux segments semblables aux carrés des 

 cordes. Sans attendre la méthode infinitésimale 

 qu'Eudoxe devait fonder, avait-il donné de ces 

 théorèmes une démonstration spéciale? ou avait-il 

 admis comme évident que les relations connues 

 pour les polygones réguliers inscrits s'étendent 

 tout naturellement aux cercles? La notion in- 

 tuitive de limite aurait simplement précédé de 

 quelque temps dans ses applications spontanées 

 la théorie savante et rigoureuse : cela ne paraît 

 pas impossible. 



11. 



Lignes courbiss. — Lieux oéométrioues. 



C'est à peu près au temps de Platon qu'on fait 

 commencer l'étude des sections du cône, ellipse, 

 hyperbole, parabole. Mais ces mots eux-mêmes 

 rappellent certains travaux des pythagoriciens : ils 

 correspondaient, on se le rappelle, aux trois cas 

 distincts d'une construction, où un rectangle d'aire 

 donnée est en défaut (ellipse), ou en excès (hyper- 

 bole), sur un autre, dun certain carré — ou enfin 

 ni en excès, ni en défaut (parabole). La théorie 

 géométrique des sections du cône commença le 

 jour oii l'on s'aperçut que, suivant la position du 

 plan sécant, selon qu'il coupe une seule nappe du 

 cône, ou qu'il coupe les deux nappes, ou qu'il est 

 parallèle à une génératrice de façon à couper une 

 seule nappe suivant une courbe ouverte à l'in- 

 fini, l'abscisse et l'ordonnée d'un point de la 

 courbe se' prêtent respectivement aux trois rela- 

 tions connues. Citons comme exemple le cas de la 

 section parabolique, en empruntant à Apollonius 

 les indications qu'il nous donne d'après les créa- 

 teurs de la th(M)rie. 



Soit un cône de sommet A (fig. 1), dont la base soit 

 le cercle BP, le plan ABP contenant l'axe ; coupons le 

 cône par un plan dont la trace sur le plan ABP soit 

 ZH, parallèle à AP, et qui coupe le plan de base 

 suivant la droite AE, perpendiculaire au diamètre 

 ZH. Soit enfin une longueur Z0 qui soit à ZA 

 comme le carré construit sur BP est au rectangle 

 des côtés AB, AP. — K étant un point quelconque 



' On appelle ainsi la portion du plan comprise entre 

 <ienx arcs de cercle sous-tendiis par la mr-me corde. 



* Cf. P. Tannery ; La dcom. grecque. Hippocrate de Chics. 



Fis. 1. 



de la section, et KA perpendiculaire à ZH, ZA, Vah- 

 srissc du point K, est justement la longueur à con- 

 struire dans la parabole de l'aire du carré de 

 Vordonnée KA faite sur la droile Z0. fi!n d'autres 



ZA KA 



termes, — - = 



KA ZW 



Lorsque ZH n'est plus parallèle à AP, .\pollonius 

 démontre que l'abscisse ZA est toujours la lon- 

 gueur à construire 

 dans la parabole 

 défaire KA'^ mais, 

 suivant les cas, en 

 hyperbole ou en 

 ellipse d'un rec- 

 tangle semblable 

 à un rectangle 

 donné, fait sur une 

 droite connue. 



D'où les noms 

 d'hyperbole et 

 d'ellipse aux sec- 

 lions correspon- 

 dantes. Au fond, 



l'abscisse ZA étant désignée par x, et l'ordonnée KA 

 par y, c'est la distinction des trois courbes faite 

 d'après l'équation y" ^=px-\-qx-, où q eat nul, 

 positif ou négatif. 



Jusqu'où les contemporains de Platon allèrent- 

 ils dans l'étude des sections coniques? H est 

 difficile de le préciser. Apollonius nous dit lui- 

 même, au m" siècle, que leurs principales pro- 

 priétés étaient connues avant lui. Et, d'ailleurs, 

 cela se trouve confirmé par l'application qui en 

 avait été faite, ainsi que nous le dirons dans un 

 instant, au problème de la duplication du cube. 

 Dès les premières recherches sur les coniques, 

 c'est-à-dire, en somme, une fois posée leur défi- 

 nition mathématique, les propriétés géométriques 

 durent apparaître en abondance. 



En même temps que naissait cette théorie, d'au- 

 tres courbes étaient imaginées pour servir à la 

 solution de quelques problèmes spéciaux, quadra- 

 ture du cercle, trisection de l'angle, duplication 

 du cube. Telle, par exemple, la quadratrice, qu'in- 

 venta peut-être Hippias d'Elis, mais à laquelle 

 pourtant la tradition a attaché de préférence le 

 nom de Dinostrate, frère de Méneclime. En voici 

 la définition : 



Soit AOB le quart d'un cercle (fig. 2). Imaginons 

 que le rayon décrive d'un mouvement uniforme 

 l'angle AOB pendant le même temps qu'une paral- 

 lèle à OA s'élève d'un mouvement uniforme de la 

 position OA jusqu'à celle de la tangente BT. A 

 chaque instant, le rayon et la droite mobiles, OP, 

 MO, se coupent en un point M : la quadratrice est 

 la trajectoire de ce point. 



