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G. MILHAUD — LA GÉOMÉTRIE AU TEMPS DE PLATON 



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Cette trajectoire supposée tracée, on divisera 

 facilement l'anj^le AOB en autant de parties égales 

 qu'on voudra, en trois, par exemple, comme le 



demandait le problème 

 de la trisection de l'an- 

 gle : il suffit, en effet, de 

 prendre le tiers de OB, 

 soit OD, et de mener par 

 D la parallèle DQ à OA. 

 Cette parallèle coupera 

 la quadratrice en M tel 

 que le rayon OM ré- 

 ponde à la question. 

 Fig. 2. Pourquoi ce nom de 



quadratrice? (TSTpaYwvî- 

 Çouua). C'est que cette courbe peut encore servir (et 

 c'était peut-être là son principal usage aux yeux de 

 l'inventeur) à la quadrature du cercle. Ce problème 

 (construire un carré équivalent à un cercle donné) 

 exige seulement que l'on puisse construire deux 

 lignes dont le rapport soit celui de la circonférence 

 ou d'une fraction de la circonférence au rayon. Or, 

 si C est le point limite de la courbe situé sur OA, 

 on voit sans difficulté que les longueurs OA et OC 

 sont dans le rapport du quadrant AB au rayon OA '. 

 Le problème de la duplication du cube, appelé 

 encore problème de Délos (parce que la légende 

 attribue à Apollon lui-même l'initiative de cette 

 récberche par le désir qu'il aurait exprimé de voir 

 doubler son temple de Délos), peut s'énoncer ainsi : 

 Etant donné un cube dont le côté est A, construire 

 le côté d'un cube double du précédent. Cette ques- 

 tion avait pu paraître aux géomètres du v^ siècle 

 analogue à celle qui se trouvait résolue dans le 

 plan : Construire un carré double d'un carré donné. 

 Le côté du carré double est la diagonale du pre- 

 mier. Dans l'espace, quand on substitue le cube 

 au carré, le problême est beaucoup plus com- 

 pliqué; on pourrait même dire qu'il est insoluble 

 si l'on exigeait que la construction du côté du cube 

 double se fit A l'aide de la règle et du compas. 



Nous dirions aujourd'hui que, si A est le côté 

 du cube donné, A^ est son volume, et par consé- 

 quent le côté inconnu est la racine cubique de 2A'', 

 c'est-à-dire AV2. Mais cela n'aurait rien signilié 

 pour les géomètres anciens. Nous les voyons, à partir 



' En langage moderne, nous pouvons représenter la qua- 

 dratrice pnr l'équation : 



JR 



Poiii' w = U, p = 0C = 



(î)' 



d'Hippocrate de Chios, ramener le problème à la 

 recherche de deux moyennes proportionnelles 

 entre A et 2A, le côté cherché étant la première 

 de ces moyennes. En d'autres termes, A étant le 

 côté du cube donné, X le côté inconnu du cube 

 double, la question revenait pour eux à trouver 

 deux longueurs, X et Y, satisfaisant à la double 



relation 



A_X__^ 

 X~Y~'2A' 



Et, enfin, ils avaient le sentiment très net, s'ils 

 n'en possédaient pas une démonstration rigou- 

 reuse, que la construction de ces moyennes ne 

 pouvait se faire avec la droite et le cercle. Ils 

 avaient donc recours à des lignes nouvelles, qu'ils 

 jugeaient à propos de définir, ou aux sections 

 coniques. 



Eutocius, le commentateur d'Archimède, nous 

 a conservé deux solutions de Ménechme : l'une fait 

 intervenir deux paraboles, l'autre une parabole et 

 une hyperbole. Voici, par exemple, la première 

 solution : 



Soient (fig. 3) deux paraboles ayant respecti- 

 vement pour axes les 

 droites rectangulaires 

 Ox, Oi/, l'une de para- 

 mètre a, l'autre de pa- 

 ramètre b ; et soit P le 

 point où elles se cou- 

 pent. Les ordonnées PQ, 

 PR sont les moyennes 

 proportionnelles entre 

 les longueurs a et 0. — 

 En effet, à cause de la 



propriété qui caractérise les points de la première 

 parabole, on a : 



Il est bien cntenilii, d'ailleurs, que ce n'est pas une solu- 

 tion, h proprement parler, de la quadrature du cercle, parce 

 ipie la longueur OC ne s'obtient pas à l'aide de la règle et 

 du compas. 



Eudoxe aurait construit pour le même problème, 

 d'après Eutocius, certaine courbe de son invention : 

 nous ne la connaissons pas. Archytas imaginait 

 une ligne définie sur un cylindre droit par son 

 intersection avec un tore ', et déterminait ensuite 

 les moyennes en coupant cette ligne par un certain 

 cône. Platon enfin se serait occupé de la question, 

 et Eutocius nous dit quelle aurait été sa solution. Le 



' Surface de révolution engendrée par un cercle qui 

 tourne autour d'un axe situé dans son plan. 



