G. MILHAUD 



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caractère praticfue de ce procédé est fait pour nous 

 inspirer les doutes les plus sérieux sur son altril)u- 

 tion à Platon lui-même '. 



Lon^lemps encore après Platon, la conslruetion 

 des deux moyennes suscitera les recherches des 

 géomètres, et la liste des courbes définies et étu- 

 diées par eux s'augmentera sans cesse. Ces courbes 

 seront toutes, comme les premières, des lieux 

 géométriques, c'est-à-dire des ensembles de points 

 ayant une propriété particulière, une propriété 

 caractéristique, le (nJ(jnrTO)[jia, comme dit Proclus, 

 qui contient en lui-même l'essence de la courbe, et 

 donne, avec la définition, toutes les propriétés. 

 C'est, en somme, ce qui équivaut pour nous à 

 l'équation. Les lieux géométriques deviennent assez 

 nombreux pour que des tentatives de classification 

 soient laites dès l'Antiquité. S'il faut en croire Pro- 

 clus (d'après Geminus), en un passage que con- 

 firment, d'ailleurs, à peu près les Béfinilions du 

 Pseudo-Heron -, une distinction aurait été faite en 

 courbes circulaires, hélicoides et campi/les, c'est-à- 

 dire cercles, courbes qui s'engendrent autour des 

 solides comme les hélices, et sections des solides. 

 Mais cette classification serait postérieure à Platon, 

 qui, après avoir distingué les lignes simples, 

 droites et cercles, réunissait, en un seul genre de 

 courbes mixtes, toutes celles qui ont été appelées 

 depuis hélicoides et campyles. 



III. 



Questions de Méthode et de Technologie. 



Proclus attribue à Platon l'invention de la 

 méthode analytique, c'est-à-dire de celle qui con- 



' Imaffinons un instrument tel ((ue ABCD (fig. 4), formé d'une 

 règle fixe AB, et d'une règle mobile CD qui se déplace entre 



les montants AC, 

 BD, tout en restant 

 parallèle à AB. 

 Soient OE, OK deux 

 droites perpendicu- 

 laires et respective- 

 ment égales auxlon- 

 gueurs a et 6 entre 

 lesquelles on veut 

 construire les deux 

 nioyeunes propor- 

 tionnelles. On dis- 

 posera l'instrument 

 de telle façon, que les points E et F soient l'un sur le bord 

 de la règle fixe, l'autre sur le bord de la n'^gle mobile, en 

 même temps que les prolongements de OE et de OF passent 

 par les sommets C et A du rectangle formé par les règles 

 et les montants. 



I es triangles EAC, FCA, étant rectangles, la hauteur de 

 chacim d'eux est moyenne proportionnelle entre les seg- 

 ments de rtiypoténuse, de telle sorte que l'un a : 



OE_OA_OC 

 OA~OC~ÛF 



OA et OC sont les longueurs cherchées. 

 ' Cf. P. Tax.nery : Bulletin des Se. MaUi.èmaiiqiies. Sur 

 les lignes et les surfaces dans l'Antifiuito, 18Si, 1. 



sistoà prendre pour point de départ la proposition 

 à établir et à en déduire une série d'autres jusqu'à 

 ce que l'on parvienne à une vérité connue; Cette 

 Tiiarclie régressive s'oppose à la méthode dite sijn- 

 ihétique, qui va de propositions déjà connues à 

 une vérité nouvelle. En fait, nous trouvons au 

 commencement du XllT livre d'Euclide des exem- 

 ples de démonstration analytique, suivies chaque 

 fois, d'ailleurs, de la démonstration synthétique du 

 même théorème. Cette idée, qui n'est appliquée 

 qu'à la fin des Eléments, remonterait-elle à Pla- 

 ton? Remarquons, en tout cas, qu'il ne saurait être- 

 question pour lui, à proprement parler, de l'inven- 

 tion de la méthode. Elle s'appliquait déjà d'elle- 

 même quand, à propos d'un problème à résoudre, 

 les géomètres le ramonaient à un autre plus simple. 

 La tradition a désigné sous le nom d'oèirayMYvi cette 

 réduction d'un problème à un autre plus facilement 

 abordable, plus près d'être résolu; et Hippocrate 

 de Chios, par exemple, est cité pour son i-Kctyo^yri 

 célèbre, la réduction du problème de Délos à 

 l'insertion de deux moyennes proportionnelles. 

 D'autre part, s'il s'agit d'un théorème à établir, et 

 non plus d'un problème à résoudre, la démonstra- 

 tion par l'absurde n'est-elle pas un exemple de 

 marche analytique? Une proposition dont on veut 

 démontrer la fausseté est posée avant tout, et on 

 en tire ensuite une série de conséquences, jusqu'à 

 ce que l'on parvienne à une proposition contradic- 

 toire. C'est même là l'emploi idéal de la marche 

 régressive, car, dans de pareils cas, elle se suffit à 

 elle-même, tandis que, lorsqu'il s'agit d'établir une 

 proposition, comme au XIIP livre d'Euclide, le fait 

 qu'une vérité comme B peut s'en déduire ne suffit 

 pas à prouver l'exactitude de la première. Il y a 

 là seulement une indication : Si toutes les réci- 

 proques sont vraies, et dans cette hypothèse seule- 

 ment, il est permis de renverser la chaîne des pro- 

 positions; c'est pourquoi il faut faire une vérifica- 

 tion en essayant la synthèse, comme Euclide en 

 donne l'exemple. Or, ladémonstration par l'absurde, 

 que Zenon d'Élée maniait si habilement dans sa 

 polémique contre les partisans de la pluralité, s'em- 

 ployait déjà sans aucun doute en Mathématique : 

 il suffirait de rappeler cette démonstration de l'in- 

 commensurabilité de la diagonale que, d'après un 

 témoignage d'Aristote, nous pouvons attribuer aux 

 pythagoriciens, et qui consistait à montrer qu'un 

 nombre n'est pas à la fois pair et impair. 



Il semble donc difficile de prendre à la lettre le 

 passage de Proclus relatif à l'invention de l'ana- 

 lyse, et peut-être faut-il y voir, comme le soup- 

 çonne M. P.Tannery, une confusion avec la double 

 marche ascendante et descendante de la méthode 

 philosophique décrite à la lin du VP' livre de la 

 République. 



