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G. MILHAUD — LA GÉOMÉTRIE AU TEMPS DE PLATON 



En tout cas, il est permis de rapprocher cette 

 indication de Proclus dune foule d'autres portant, 

 à propos de l'histoire de la Géométrie, non pas 

 précisément sur la matière de cette science, mais 

 sur sa forme. Il s'agit tanlùt de discussions sur les 

 diverses sortes de principes, axiomes, hypothèses, 

 postulats, délinilions, tantôt de la distinction à 

 faire des difTérentes espèces de propositions, théo- 

 rèmes, problèmes, porismes,... ; tantôt ce sont les 

 parties de la démonstration qui sont séparées et 

 reçoivent des noms distincts. Ces sortes de préoc- 

 cupations, dont nous trouvons l'écho dans le com- 

 mentaire de Proclus, ne remontent pas toujours à 

 une haute antiquité, mais du moins, en dehors de 

 ce qui concerne Platon, quelques allusions très 

 précises à Ménechme et à Speusippe nous auto- 

 risent à penser que les questions de méthode et de 

 technologie étaient déjà à l'ordre du jour parmi 

 les contemporains de Platon. 



Nous pouvons arrêter là ce résumé, nécessaire- 

 ment incomplet, des recherches géométriques au 

 v« et au IV' siècle, tel qu'il est permis de le pré- 

 senter sans trop d'incertitude. 



Des dernières remarques qui précèdent nous 

 conclurons seulement que la pensée mathématique 

 avait acquis déjà, au temps de Platon, assez de 

 maturité pour devenir elle-même matière à médita- 

 lion, et pour que la forme de la langue mathéma- 

 tique fournît un aliment précieux à la réflexion des 

 géomètres. Quant à l'ensemble des travaux que 

 nous avons mentionnés, s'il donne l'impression 

 d'un accroissement très appréciable de connais- 

 sances, il marque aussi une évolution fort impor- 

 tante des concepts fondamentaux. 



Tout d'abord l'étude des incommensurables est 

 devenue de plus en plus complète. D'une part, 

 le géomètre est amené à manier et à classer une 

 foule de lignes irrationnelles: d'autre part, l'in- 

 commensurabilité des grandeurs n'est plus un 

 obstacle à l'application des rapports et proportions 

 aux longueurs, aux surfaces et aux volumes. Ce qui 

 .s'était présenté comme une redoutable antinomie, 

 comme un scandale logique, ce fait que deux lon- 

 gueurs peuvent exister entre lesquelles il n'y a 

 pas de rapport numériquement^ exprimable, ces- 

 sait désormais de troubler l'esprit du géomètre. 

 Mais, en même temps, nous sommes peu surpris 

 de voir un penseur tel que Platon attacher aux 

 incommensurables une importance énorme, comme 

 si, pour lui, leur notion était un des points fonda- 

 mentaux de la Géométrie. S'il y fait de si fréquentes 

 allusions, s'il ne peut s'empêcher de les mentionner 

 toutes les fois qu'il cherche dans le domaine de la 

 Science l'exemple d'une vérité que tout le monde 

 devrait connaître et méditer, la raison n'en est pas 

 difficile à saisir. Pour que la notion nouvelle de la 



grandeur incommensurable prît enfin sa place na- 

 turelle en Géométrie, il n'avait fallu rien moins, au 



fond, qu'une transformation radicale de l'idée de 

 nombre. 



Considérons deux grandeurs telles que la diago- 

 nale et le côté d'un carré; ne sont-elles pas liées 

 entre elles par une certaine manière d'être quanti- 

 tative, comme dit Euclide, indépendante de tout 

 calcul, de tout procédé qui pourrait nous servir à 

 l'exprimer? C'est là, dans ce qu'il aura de plus 

 général, le Xôi-oç, le rapport des deux gran- 

 deurs. Il ne revêt pas la forme particulière d'un 

 nombre entier ou d'une fraction; qu'importe? Cela 

 prouve simplement que les moyens qui nous fai- 

 saient aboutir à cette sorte d'expression étaient 

 insuffisants; que l'idée de quantité, de rapport, de 

 nombre, n'était pas épuisée par la méthode qui 

 consistait à ajouter simplement, à juxtaposer des 

 éléments identiques, unités ou fractions d'unité. 

 Lorsque nous disons, en présence de nos deux 

 longueurs, que l'une est déterminée en quelque 

 façon par l'autre, quelle en participe de quelque 

 manière, nous sommes en même temps dans l'im- 

 possibilité absolue de montrer certains éléments de 

 l'une, dont la répétition permettrait de reconsti- 

 tuer l'autre. C'est tout simplement que ce mode 

 nouveau de participation échappe à toute image 

 addilive. 



Dira-t-on qu'il y a là un genre de quantité tout à 

 fait singulier, n'ayant aucun rapport avec le nom- 

 bre, seul connu jusqu'ici? Il est, au contraire, 

 assez facile de donner une place au nombre nou- 

 veau dans l'échelle de ceux dont nous disposions 



! auparavant. Il suffit, pour cela, de se laisser guider 

 par Platon qui, précisément, a choisi ce problème 

 pour faire Menon témoin des merveilleux effets de 

 la réminiscence. Le procédé est très clair; mais il 

 n'a plus aucun rapport avec la comparaison des 

 nombres de l'Arithmétique primitive : il consiste à 

 comparer des longueurs entre elles, non plus par 

 les sommes d'éléments qu'elles représentent, mais 

 par les carrés qu'elles sont en puissance de 

 fournir. 



L'intuition géométrique prend désormais un 

 rôle spécial et nouveau, en tant que représentative 

 de la quantité. D'une part, elle a révêlé des états 

 de grandeur que la simple addition d'éléments 

 identiques ne suffit plus à constituer, et en même 



1 temps elle a fourni elle-même le moyen de les faire 

 entrer dans l'échelle des nombres. D'autre pari, 

 comme elle généralise certaines propriétés quanti- 

 tatives, les nombres arithmétiques ne sont que très 

 rarement des carrés; 2, par exemple, n'est pas un 

 carré;- Or, en Géométrie, si l'on part du carré de 

 côté 1, c'est-à-dire du carré 1, il suffira de cons- 

 truire, comme dans le Menon, le carré qui aurait 



