G. MILHAUD — LA GÉOMKTRIE AU TEMPS DE PLATON 



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la diagonale pour côté; ce sera le carré 2. Les nom- 

 bres 1 et 2 étaient, à cet égard, dissemblables; la 

 Géométrie leur rend la similitude. Après cette 

 étude (celle de l'Arithmétique), lisons-nous dans 

 TEpinomis, « vient immédiatement celle que l'on 

 nomme ridiculement Géométrie (mesure de la 

 Terre), et qui consiste à donner à des nombres 

 naturellement dissemblables une similitude se ma- 

 nifestant sous la loi des figures planes. C'est là une 

 merveille qui, si l'on arrive à la bien comprendre, 

 apparaîtra clairement, comme venant non de 

 l'homme, mais de la divinité ". 



Mais il est une autre façon d'envisager les incom- 

 mensurables. Si l'on essaie de trouver la mesure 

 de la diagonale d'un carré, en prenant pour unité 

 le côté, il est entendu qu'on peut diviser ce côté en 

 autant de parties égales qu'on voudra; jamais un 

 nombre de ces parties ne représentera la diago- 

 nale. Et cependant, il est aisé d'obtenir des nom- 

 bres qui la mesurent avec une approximation de 

 plus en plus grande. C'est ainsi que, par exemple, 

 si elle contient une fois le côté, elle contient 

 14 dixièmes, 141 centièmes, 1.414 millièmes de ce 

 côté, et il est clair que les longueurs 1, — 1,4, — 

 1,41, — 1,414... diffèrent de moins en moins de la 

 diagonale. L'impossibilité d'obtenir la mesure 

 exacte se confond alors avec l'impossibilité de par- 

 venir au terme d'une suite qui est sans fin, en 

 vertu même de la règle qui sert à la former, et on 

 peut dire de la ligne incommensurable quelle est, 

 dans ces conditions, la limite inaccessible de la 

 série des longueurs que nous lui substituons. Or, 

 cette manière de voir les choses, qui, au fond, n'est 

 autre que la méthode d'exhaustion, va pouvoir 

 s'employer dans une foule de cas. Qu'il s'agisse, 

 par exemple, de l'aire d'un cercle, de la surface ou 

 du volume d'un corps rond, de la longueur d'un 

 arc de courbe, il n'est pas permis d'en parler tout 

 d'abord avec clarté. Qu'est-ce qu'une aire plane 

 limitée par une courbe? Qu'est-ce que la longueur 

 d'une ligne qui n'est pas composée exclusivement 

 (le droites, ou le volume d'un solide que ne limi- 

 tent pas seulement des faces planes? On se pose 

 ces questions comme on se demandait ce que pou- 

 vait être un rapport non exprimable par un nom- 

 bre. Pas plus que dans ce dernier cas, la Géométrie 

 ne voudra renoncer aux autres considérations 

 quantitatives, sous prétexte que d'elles-mêmes 

 elles n'ont pas un sens précis. Et l'on peut dire que, 

 dès les travaux d'Eudoxe, il n'y a plus dans ces 

 sortes de questions aucune impossibilité. Chaque 

 fois qu'interviendra une ([uantité ([uelconque rela- 

 tive à la circonférence du cercle, celle-ci sera con- 

 sidérée comme la limite d'un polygone régulier 

 inscrit dont le nombre des côtés augmente indéfi- 

 niment. D'une façon générale, quand l'intuition 



géométrique semblera offrir, par ses exigences de 

 forme, (juelque irréductibilité au nombre, la notion 

 de limite et la méthode d'exhaustion sauront faire 

 tomber l'obstacle. Par là disparaît tout ce qui 

 semblait faire entrave à la fusion du nombre et 

 de l'étendue continue. 



En même temps, les problèmes de la trisection 

 de l'angle et de la duplication du cube amènentloul 

 naturellement Platon et ses contemporains à ma- 

 nier, avec les sections coniques, d'autres lignes 

 plus ou moins compliquées, et à faire rentrer la 

 notion générale de courbe dans celle de lieux rjéo- 

 iiiiHriques. On se rappelle, en effet, si nous prenons 

 en exemple les sections du cône, dans quelle 

 propriété quantitative spéciale, caractéristiqued'un 

 quelconque deleur points, étaient leur signification 

 et leur importance. Gela apparaît avec une clarté sai- 

 sissante. si l'on examine de près quelque problème 

 où interviennent ces lignes, tel, par exemple, que 

 les solutions de Ménechme pour la question des 

 deux moyennes proportionnelles. Dans celle que 

 nous avons citée, que représentent les deux para- 

 boles, sinon chacune un lieu de [points dont [l'abs- 

 cisse et l'ordonnée satisfont à une certaine rela- 

 tion? Le point où elles se coupent, c'est le point 

 auquel correspondent deux relations, et il se trouve 

 justement que la simultanéité des deux relations 

 équivaut au fait géométrique que deux lignes par- 

 ticulières de la figure sont les moyennes cherchées 

 C'est déjà, deux mille ans avant Descaries, la Géo- 

 métrie analytique qui prend naissance, sinon dans 

 sa forme, au moins dans son esprit. Une courbe 

 tire toute sa raison d'être, toutes .ses propriétés 

 d'une relation quantitative entre des longueurs 

 et des surfaces qui correspondent à chacun de 

 ses points. Au fond, elle est tout entière dans cette 

 relation, ({ui est son caractère spécifique. Et c'est 

 ainsi que tous les progrès de la Géométrie , au 

 temps de Platon, concouraient à une pénétration 

 de plus en plus étroite de la quantité dans le continu 

 de l'intuition. 



La participation des formes spatiales au nombre, 

 que les pythagoriciens avaient devinée plus qu'ils 

 ne l'avaient comprise, et qu'en tout cas ils interpré- 

 taient si naïvement en projetant simplement le 

 nombre discret dans l'étendue continue, cette par- 

 ticipation pouvait donc prendre désormais un sens 

 autrement profond. Non seulement la quantité ne 

 risquait pas d'entrer en conflit avec le continu de 

 l'intuition sensible, mais elle recevait de lui l'ex- 

 tension la plus féconde. Ce n'est pas l'arithméticien, 

 celui qui forme le nombre par addition finie d'u- 

 nités, c'est le géomètre pour lequel toute figure 

 exprime de quelque façon, des rapports quantita- 

 tifs, qui seul est capable de saisir toute la signifi- 

 cation du nombre. Ainsi, les qualités de forme, de 



