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BIBLIOGRAPHIE — ANALYSES ET INDEX 



BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1° Sciences mathématiques 



Kronccker (IJ. - Vorlesungen liber Mathematik 



(licninsgcgelii'ii iiiilcr Mitwivkuiig oinev von clcr 

 Kuiiiijl. iirciissisdicii Akuilrin'iP lier Wissen^vlml'tcn 

 riiiiir^ely(''ii AV)(/(/;;/ss/o;;). /.wfiler Tcil ■ Vorles- 

 ungen iiber allgemeine Arithmetik, hrarliciti-t und 

 honwsneiichcii vuu II'' Kiii-t llciiscl, l'ro/'cssar 

 dor \i;iùicm:itik un dcr rnivrrsjl.il /il lirrliii. 

 Erster Abschnitl : Vorlesungen liber Zahlentbeorie. 

 ErsterBand.— i vol. iii-H" doxM-'M^pai/es. Teubner. 

 Leipzig, 1902. 



Voici un livre où les lecleurs français, à bien peu 

 d'exceplions près, je le crains, ont beaucoup à a]ipren- 

 (Ire. 11 trailc de la partie des Mathématiques qui doit 

 le plus à Kronecker, de l'Arithmétique, mais de TArith- 

 métique générale, c'est-à-dire considérée dans ce qu'elle 

 a de commun avec l'Algèbre et l'Analyse. On ne peut 

 trop insister sur l'intéiêt qu'il y aurait pour les mathé- 

 maticiens de notre pays li se familiariser, plus qu'ils ne 

 le font, avec cette branche de la Science, laquelle a 

 donné, dans ces dernières années, une série de beaux 

 résultats aux successeurs de Kronecker, particulière- 

 ment à M. Honsel, le rédacteur des Leçons dont nous 

 parlons en ce moment. 



Les théories exposées dans ces Leçons n'ont, aufond. 

 rien que de très élémentaire, et constituent la base de 

 l'Arithmétique supérieure. Combien d'entre elles ap])a- 

 raîtronl cependant au lecteur comme entièrement nou- 

 velles! C'est tout d'abord l'importante notion des sys- 

 tèmes modulaires, qui occupe, avec lesdéveloppeiiiriils 

 qu'elle conipiute, toute la seconde partie du voliinic 

 L'cxenq)le de .M. Molk, qui avait tenu à faire connaître 

 cette théoiie,an moins au point de vue algébrique', par 

 une exposition en français, ne semble guère avoir été 

 suivi. Mais, en dehors même de cette conception si pure- 

 ment kroneckérienno, il n'est, pour ainsi dire, aucun 

 ]ioint de l'Arithmétique sur lequel la liaison étroite de 

 (i-tte Science avec l'Algèbre et l'Analyse, constamment 

 mise en évidence par l'auteur, ne conduise à des vues 

 nouvelles et souvent importantes. 



Iii's l'Introduction, l'auteur ne mentionne pas la dé- 

 composition des nombres en carrés sans la rattacher 

 aux séries de Jacobi. S'il veut ébablir ([ue le proiluit de 

 ;; entiers consécutifs est divisible ])ar le produit des/; 

 premiers nombres, il fera résulter cette conclusi<ui du 

 théorème du binôme, démontré d'autre part pai' induc- 

 tion rnatliématique. Que, plus tard, il expose la décom- 

 position des nombres en facteurs premiei's, il inti-oduira 

 immédiatement la célèbre identité d'Kuler enlir la 



série S — et un iiroduit inlini : il montrera que non 



seulement cette identité résulte du fait que la décompo- 

 sition est unique, mais encore qu'inversement, elle 

 ])ermellrait, à (die seule, de démontrer ce fait. 



De même, la lliéori(,'des congruences, (|ui Iciniiiu- la 

 ])remière |iarlie,donru'ra lieu à l'introduction des bmc- 

 tions trigonométriques comme invuriaiils des con- 

 gruences. 



La deuxième. partie (Leçons 12 à 21), comme nous 

 l'avons dit, est con.sacrée à la théorie des systèmes de 

 diviseurs. C'est bien ici le point de vue arithmético- 

 ;dgébiii|ue qui domine. Au contraire, on revient au 

 |i(pinl de vue analytique dans la troisième et la qua- 

 Uirnir partie : ce sont alors les séries de Dirichlet, 

 généralisations naturcdles de celle d'Lub-r, ([ui jouent 



' Aria Mallw.matica, tome VI. 



un rc'ile préponib''rant. l.iMir introduclioiicoiiiluil iiaUi- 

 rellemenlau théin-ème sur la progiessiun ari(bmi''ti(|iii', 

 i|ui fait l'objet de la quatrième partie. L'auteur ,i 

 attendu jusqu'à ce moment pour exposer la théorie ib s 

 résidus de puissances et des racines primitives, d.- 

 laquelle dépend la formation des séries en queslion. 

 Il y l'attache (28° Leçon) les propriétés des congruenns 

 (le ibrii' sujuTicur pourun modide premier et les ri'Mil- 

 l.iN I .iiiiii (|ii;ibles relallfsà la détermination du nomlin' 

 (le lriii> 1,1. mes non congrues entre elles, ainsi ipir le 

 calcul, liai' l'iHude des séries récurrentes, du degré du 

 plus grand commun diviseur de deux polynômes à coel- 

 licients entiers. 



La démonstration du théorème sur la ]n'ogressiou 

 arithmétique (Leçons H0-;i3) est perfectionnée sur un 

 point essentiel, kronecker remarque, en effet, que le 

 résultat de Dirichlet reste incomplet en un certnin 

 sens: il ne iiemiet pas d'assigner un intervalle ay.mi 

 pour limite inférieure un nombre ciuelionque doiiiH' 

 et qui contienne ncMcssaiiiMiienl un noudire preioici- 

 ap[>arlenanl à la proyressiiju donni''e. I'(uir parvi'iiir 

 à préciser ainsi le théorème de Diricidet, de nou- 

 velles difficultés sont à vaincre. On sait, en etfet. (|iir 

 l'un des points délicats de la démonstralion ciuisi.-lc 

 à prouver que les séries qui restent finies lorsqui' 

 l'argumi'nl prend la valeur I sont, pour cette valeur, 

 toutes différentes de 0. Lorsqu'il s'agit des caractères réels 

 (c'est-à-dire tels que lès racines de l'unité qui servent à 

 les former soient toutes égales à -|- 1 ou à — 1 ), Diricidet 

 ne parvient à établir celte coni'lusion qu'en utilisant les 

 r(-sullals acquis d'autre pari sur \i- nombre des classes 

 de formes quadratiques de dclii iiiinaiit donné. Au con- 

 traire, pour les caractères imaginaires, la c[uestion ist 

 bien plus simple. Les choses se passent d'une faion 

 inverselorsqu'on veut apporter au raisonnement le com- 

 pbineut de Kronecker. La démonstration même de Di- 

 ricidet, en même temps qu'elle montre que la série cor- 

 respondant à un caractère réel ne s'annule pas dansli'S 

 circonstances indiquées, fournit un(! limite inb'Mieuie 

 de la valeur de celle série, celle-ci étant exprinii'e |i;ir 

 le produit d'une quantité explicitement connue et d'une 

 autre qui est, par essence, un entier positif; tandis 

 que, pour les séries imaginaires, il faut une recherclic! 

 entièrement nouvelle. 



Le volume se termine par quelques éclaircissemenls 

 dus à M. Heiisel. C(dui-ci ne s'est pas contenté de ri'- 

 cueillir et de rédiger les Leçons du Maître, mais il en 

 a couiplélé les résultats sur un grand nombre de [loints. 



JaCQUKS H.*l)AM\nD, 



Professeur adjoint i\ In Soj-bonno, 

 Professeur suppk^ant au Collège de Froiico 



i»liillei'(F. .— Vocabulaire mathématique français- 

 allemand et allemand-français. Ih l':irtir. — 1 \oi. 

 iij-S'-dr iS't piigcs. [l'iix : lli //•. r.\). H.-G. Ti'uliner, 

 éditeur. Leipzig, 1902. 



Nous avons signab', l'anni'e deniicic', r,i|.|.,H ilion du 

 premier volume de cet ouvrage. Aujourd'hui parait la 

 seconde partie (allemand-français). Elle compte 110 pages 

 de plus que la première, ce qui tient en partie à l'aug- 

 mentation des notices explicatives et liisloriques, en 

 partii^ à ce fait t]ue la langue alleman<le est plus riche 

 en expi-.essions malln'maliques ipie la langue française. 

 Ainsi, enallemand, on peut exprime^' par un seul mot: 

 Ititndwcrluiit'gnbe, ce qui, en français, nécessite toute 

 une phrase : IJrtanniiinlion d'une l'onclion fin moyen des 

 vnlenr.s i/u'idle prend snr lu frontière d un doiniiine. 



' Voyez la Hevue du 30 juillet 190t, t. XII, p. 6i:t. 



