13" ANNÉE 



N" 24 



30 DÉCEMBRE 1902 



Revue générale 



des Sciences 



pures et appliquées 



Directeur : LOUIS OLIVIER, Docteur es sciences. 



la réilaclian à M. L. OLIVIER. 22, rue du Général-Foy. Paris. — La reproduction et la traduction des œuvres et des t-a 

 ubiiés dans la Revue sont complètement interdilis en France et dans tous les pays étrangers, j compris la Suède, la Norvège et la Hollande. 



CHRONIQUE ET CORRESPONDAIS CE 



s 1. 



Nécrologie 



Mort de M. P.P. Deliérain et de M. P. Ilaii- 

 teteuille. — Nous n'avons pu mentionner dans le 

 dii-rnier numéro de la Revue, alors sous presse, la 

 mort de M. P. -P. Deliérain et celle de M. Paul Haute- 

 feuille, survenues les 7 et 8 de ce mois. 



Dos Notices seront prochainement consacrées ici à 

 la vie de ces savants et à leur œuvre, qui fut considé- 

 rable. Enlevés à la Science à un àjje où elle pouvait 

 encore beaucoup attendre de leur labeur, ils emportent 

 avec eux les regrets unanimes du monde scientiflque. 



La Revue ressent avec une douleur particulière la 

 perte de M. P.-P. Dehérain, qui fut Tun de ses iollabo- 

 rateurs de la première heure et l'un de ses meilleurs 

 et plus afl'ectueux conseillers. 



S 2. 



Mathématiques 



L'iiTéductibîlit»? des équations différen- 

 tielles Le prolongement analytique. — La 



question de l'irréduclibilité d'une équation différentielle 

 vient de soulever des discussions assez vives, à l'occa- 

 sion d'un important n-sultat, communiqué à l'Académie 

 des Sciences pur M. Painlevé, sur les nouvelles équa- 

 tions dirrérenlielles du second ordre à points critiques 

 lixes, dont la découverte et létuile sont son œuvre et 

 dont l'un des types les plus simiiles est : 



(1; 



ll^. = 6v=-(-.v. 



Après avoir établi que les intégrales de ces équations 

 sont des fonctions méromorphes très intimement liées 

 elles-mêmes à des fonctions entières, il restait à s as- 

 surer qu'on obtenait bien ainsi des transcendantes essen- 

 tiellement nouvelles. C'est ce qu'a fait M. Painlevé : lU 

 prouvé que les transcendantes en question sont irré- 

 ductibles, non seulement aux transcendantes connues, 

 mais à des combinaisons de celles-ci et des intégrales 

 des équations linéaires. , 



Cette preuve n'avait été faite tout d'abord quen en- 

 tendant le mot A'ii-réductihililé dans un sens dé,|a fort 

 étendu, mais non cependant le plus complet que 1 on 



REVIE GÉNÉIIALE DES SCIENCES, 1902. 



puisse concevoir. Mais l'auteur ne s'en est pas tenu là, 

 et il a pu bientôt établir cette irréductibilité au sens le 

 plus général et le plus absolu, c'est-à-dire l'impossilii- 

 lité (le ramener l'intégration de l'équation (t) à une- 

 série, si cow/jUquée sou-elle, d'opérations plus simples. 

 C'est, on le voit, une de ces démonstrations si diflicile.'^ 

 auxquelles la science a été initiée par les travaux 

 d'Aliel et de Galois, et dont la preuve rigoureuse de 

 l'impossibilité de la quadrature du cercle a fourni un 

 si bel exeinple. Dans le cas des équatiniis .tillVini- 

 tielles, comme dans celui des équations aL'Ii h|ni>, on 

 ne pouvait se livrer à une recherche de rrWr r>^,i-cr 

 qu'à l'aide de la Théorie des (troupes. 



C'est ce qui avait été fait, pour les équations linéaires, 

 dans les travaux de MM. Picard et Vassiot. On avait pu 

 assez aisément étendre leurs méthodes au cas des équa- 

 tions dilTérentielles admettant un sysléiue t'ondameu- 

 tal de solutions, c'est-à-dire un système de solutionr; 

 en nombre fini, en fonction desquelles toutes les autres 

 pouvaient s'exprimer dune manière connue; mais 

 c'était là un cas extrêmement particulier. 



C'est alors (1898) que M. Drach eut l'idée de partir de 

 l'équation linéaire aux dérivées partielles correspon- 

 dante, qui, elle, admet toujours un système fondamen- 

 tal de solutions. En envisageant le {ji-oblème sous ce 

 nouveau point de vue, il put ramener la question de 

 l'intégrabilité d'une équation différentielle quelconque 

 à l'étude d'un certain groupe continu. 



La démonstration de M. Painlevé est la première 

 application qui ait été faite du théorème de M. Drach. 

 C'est ce théorème qui a permis d'atteindre le résultat 

 complet qu'il s'agissait d'obtenir. 



Or, entre les deux Notes de M. Painlevé, M. R. Liou- 

 ville^en publiait une, dans laquelle il énonçait l'exis- 

 tence d'un svstème linéaire du quatrième ordre dont 

 l'intégration 'entraînait celle de l'équation (1). Ce résul- 

 'tat, comme le faisait remarquer l'auteur, n'était pas, a 

 la rigueur, contradictoire avec l'irréductibilité de cetfr 

 équation, au sens restreint du mot. Au contraire, il 

 semblait aller contre le second théorème de M. Pain- 

 levé et fournir le moyen de ramener 1 équation à d au- 

 tres plus simples. En réalité, ainsi qu il ressort de I . 

 discussion qui s'est engagée à ce sujet, il n y a aucun.- 

 contradiction entre les deux propositions. Lirreducti- 



