J. HAAG — Sll|{ I.KS IMiINCII'l'S Kl', I,A MI'CAMf.tlK 



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SUR LES PRINCIPES DE LA MÉGANIQUE 



I-u M('Ciuutiue est la science ([iii a pour but 

 ri'liule des phénomoiics de mouvement (et, 

 comme cas particulier, de repos) on piiénomènes 

 mécani(|nes. A ce titre, c'est donc ii/ic science 

 liKi-enienl p.vpériinentdle. (!'est, comme l'a fort 

 l)ien dit M. Bonasse, le premier chapitre de la 

 Physique. Les méthodes de cette dernière Ini 

 sont ilonc nécessairement applicahles. 



Elïectivement, les lois de la Mécanique actuelle 

 doivent leur existence aux oljservations les plus 

 vulf^^aires, intcipretées par les cs|)rits j,réniaux 

 des Galilée, des Kepler, des Newton. A cause de 

 leur sim[)licité et de leurgi'inde j;;énéralité, elles 

 ont perdu, peu à peu, Icni' caiaclère expéiimcn- 

 tal et ont (ini ])ar s'imposer, du moins jiis(|u'à 

 nouvel ordre, comme des vérités iuéluctal>les, 

 comme des axiome?, analogues à ceux de la 

 Géométrie '. 



Ceci explique pourquoi la Mécanique a pénétré 

 ])rogiessivement dans le domaine des mathéma- 

 ticiens, qui sont actuellement chargés de son 

 enseignement, du moins en France, sous la rii- 

 bricjue : Mécaniiiue rdtiunnelle'- . 



Sans rechercher si c'est là un bien ou un mal, 

 nous nous contenterons de montrer comment on 

 I)eut exposer la Mécanique d'un point de vue pu- 

 rement mathématique, sans faire appel à aucun 

 axiome d'ordre expérimental. Nous ferons voir 

 ensuite comment la science abstraite ainsi con- 

 struite se rattache à l'étude des phénomènes natu- 

 rels de mouvement. 



Autrement dit, nous nous proposons de l'aire 

 nettement la part du Physicien et la part du Ma- 

 thématicien, tout en montrant qu'ils sont soli- 

 daires l'un de l'autre. 



On objecterasans doutequ'une telle distinction 

 est purement factice et qu'un bon mécaniste doit 

 être à la fois physicien et mathématicien. C'est là 

 une opinion à latinelle nous nous rangeons vo- 

 lontiers. Malheureusement, il existe, croyons- 

 nous, peu de mathématiciens ayant du goût et 

 des aptitudes pour la pratique de l'expérience et 

 du laboratoire. A part quelques trop rares excep- 

 tions, il ne nous semble pas qu'un mathémati- 

 cien puisse diriger, avec compétence, des mani- 

 pulations de Mécanique. Une collaboration entre 



1, En fait, cette analogie est loin d'être superHcielle, si 

 l'on veut bien observer que la (îéométrie, tout au moins la 

 Géométrie euclidienne, repose, elle aussi, sur un certain 

 nombre de notions expérimentales, en nombre évidemment 

 rcstreinl, mais auxquelles la pure logique ne^nurait suppléer. 

 2. \y\ Méc.inique u'p>t d'aileurs pas la seule brandie de la 

 Priysicpie dont se soient occupés des mathémniiciens. 

 Ilenl'i Poincaré en fut un illustre exemple. 



physiciens cl matin'malicieiis serait peut-être 

 heureuse, mais dillicile à réaliser dans l'ens.-i- 

 gnement. 



I — Piii.NciiT.s i)i; i.A Miit.ANn.nji; ha rio.\NKi.i.K 



Arrivons à l'exposé logique du mathématicien, 

 dontla théorie sera appelée Mecnni(iiic rdUonncllc 

 ou Méciini(/ue /mU/ié/iui/ii/ue '. 



!$ I. — Cinématique 



Soit un trièdrc de coordonnées O.ii/z ou triè- 

 dre ('r),que nous appellerons //vVv/re ^/<' référence. 

 Soit mainlenant un pointM, dontles coordonnées 

 r, //, r- par rapport à ce Irièdre sont des fondions 

 connues d'un certain pararnclre /, ([ue nous appel- 

 lerons le temps. Lorsque / croit d'une manière 

 continue, le point M occupe, relativement à (T), 

 des positions successives déterminées. Nous con- 

 viendrons de dire qu'il est en moiivemeiil par 

 ra/)/>nrl à noire triédrede référence. Les équations 

 ([ui définissent .( , //, r. en fonction de i, soient 

 (1) .,; = /■(/), y=g[l), z.~.h[t\, 



seront appelées les équations du nmiu'emenl. 



Nous appellerons vecteur t'itexse du point M h 



l'instant /la dérivée géometri([ue du vccteur(OM) 



par rapport à /. Nous appellerons c<?r^'»/- /;ccc7('- 



ration la dérivée géométri(|ue du vecteur vitesse. 



Les composantes de ces deux vecteurs suivant 



dx dt/ dz. , . d-x 



les axes sont -— • -^' -r pour le premier et -^■ 



d^,/ d'z , , 



-Hri —rr; pour le second. 



(// ■* dl- '^ 



Au lien d'un seul point mobile, on peut en 

 envisager simultanément plusieurs; on obtient 

 lin si/stèiiie. Dans les raisonnements, il est com- 

 mode de ne considérer que des points en nombre 

 iini.^NIais, on peut, en employant les procédés de 

 définition des intégrales simples, doubles ou tri- 

 ples, admettre l'extension des milieux continus à 

 une, deux ou trois dimensions. Chaque point M 

 d'un tel milieu est individualisé par la connais- 

 sance d'un, deux ou trois paramètres indépen- 

 dants. On connaît le mouvement du milieu si l'on 

 peut avoir, à chaque instant, la position du point 

 qui correspond à un ensemble de valeurs numé- 

 riques quelconques attribuées aux paramètres 

 précédents. Pour cela, il faut connaiire les coor- 

 données X, y, z de M en fonction du temps et de 

 ces païamètres. 



1. De même qu'on A\\. Plnjslqiie mallirmatique. 



