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conque, si l'on se donne la position el la vilessf 

 du mobile à cet instant. Kn oITet, ces données 

 délerininenl, par six équations qu'il est facile 

 d'écrire ', les six constantes .to, y», ^o, f o,y o. : », 

 et, par suite, le mouveiuent tout entier du point 

 ÎNl. Le mouvement étant connu, le vecteur accélé- 

 ration et pai' suite le vecteur force iclalivele sont 

 aussi à une epocjuc quelconque et, en particulier, 

 à l'époque t précédemment considéri'C. 



Ceci se traduit analytiquement de la manière 

 suivante : 



Appelons X, V, '/, les composantes de la force 

 relative, suivant les axes O^yz. Ce sont des fonc- 

 tions parfaitement déterminées des sept varia- 

 bles t. .r, y , z. .(■', //', ;', soit : 



f X = F [t,x,y, z,A-',y',z'), 



(6) }\=G{i,.r,y,z,x',y', z'), 

 ' Z = H (t,.r,y,z,.i',y', z'). 



(Ine telle correspondance entre la force rela- 

 tive et /('S ciiiiditions au temps t- sera appelée une 

 loi de jorce. f'.lle est définie par des équations 

 telles que (6). 



Xous venons de voir qu'à toute famille (A) cor- 

 respond une loi de force déterminée. Récipro- 

 quement, /( toute loi de force correspond une fa- 

 mille (A). En effet, assujettissons le point M à ne 

 prendre que des mouvements obéissant à cette 

 loi de force, c'est-à-dire tels qu'à chaque instant 

 la force relative satisfasse aux équations (6). Cha- 

 cun de ces mouvements vérifie les équations 

 dillërentielles : 



I m.c =¥{l,.f,y,z,x,y\z'], 



(7) s niy" = G{t,u-,y, z,.i' ,y' , z), 

 { niz" = R[t,x, y,z,.r\y' ,z')^ 



où X, y, z, sont les coordonnées de M et.)', y', z', 

 ■'' > ,'/' 1 '■"> Ifis dérivées premières et secondes de 

 ces coordonnées par rapport à t. Or, un théorème 

 d'Analyse bien connu nous apprend que, sous 

 certaines restrictions de continuité, il existe une 

 solution et une seule vérifiant ce système, en 

 même temps que des valeurs initiales données 

 de X, y, z, x', y', z'. Il revient manifestement au 

 même de dire que tout mouvement obéissant à la 

 loi de force (6) est déterminé, quand on se donne 

 ses conditions initiales. L'ensemble de tous les 

 mouvements ainsi définis constitue donc bien 

 une famille (Ai. 



Ce que nous venons de dire pour un point peut 

 se répéter pour un système. La seule différence 

 est que la famille (A) et la loi de force correspon- 



1. Nous ne nous préoccupons pas de savoir ai ce système 

 d'équations admet une ou plusieurs solutions. S il y avait 

 plusieurs solutions, on en conclurait simplement que les 

 fonctions X, V, Z sont niultilormes. 



2. Nous appellorons ainsi la position el le vecteur vitesse 

 ù cet instant. 



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dante peuvent dépendre, dans ce cas, d'un nom- 

 bre quelconque de paramétres', caractérisant 

 l'ensemble des conditions initiales de tous les 

 points du système. 



Clumiieincnl du triedre de référence. — Soit 

 une fiimille (A) de mouvements rapportés au 

 trièdre (T) et soit (/') la loi de ft)rce relative; cor- 

 respondante. Prenons maintenant un autre triè- 

 dre de référence (Tj, de mouvement connu 

 par rapport au premier. Si l'on se donne les 

 conditions initiales de .M par rapport à (T), on 

 peut en déduire, en \ertu de la formule (2), 

 les conditions initiales par rapport à (T') et 

 réciproquement. Il s'ensuit manifestement que 

 les mouvements de la famille (A) deviennent, 

 quand on les rapporte au trièdre (T), les mouve- 

 ments d'une nouvelle famille (A'|. Conséquem- 

 ment, la loi de force (/') se transforme en une 

 nouvelle loi de force (/"). Ceci résulte d'ailleurs 

 aussi de la formule ('i) et du fait, siynalé plus 

 haut, que les forces d'entraînement et de Coriolis 

 ne dépendent que des conditions au temps l du 

 point M. 



Forces absolues'-. — Soient deux familles (A) 

 et (A,), rapportées au même trièdre (T). Soient (/') 

 et (/",) les lois de force relative correspondantes. 

 On peut passer de {/) à (/',), donc de (A) à (A,), en 

 ajoutant à (/) la force (F) = (/',) — (/'j. Je dis que 

 cette force est indépendante du choix du trièdre 

 de référence. 



En eiTet, prenons un nouveau trièdre (T'I, animé 

 d'un mouvement quelconque par rapport à (T). 

 Les forces {f] et (/",) se transforment en (/") et 

 (/",], par les formules : 



(/■■) = (/) + (A) + (/;) , (/•',) = (/, 1 + (A) + ifc], 



(ft) et (fc) étant les mêmes dans les deux formu- 

 les. On en déduit immédiatement : 



Nous arrivons donc à cette conclusion fort 

 importante que, pour passer d'une famille déler- 

 iiiinée à une autre famille déterminée, il su/fil 

 d'ajouter à la première loi de force relative f) 

 une autre loi de force (F), qui est indépendante 

 du trièdre de référence^ . 



1 . Il peut même jf en avoir une infinité, s'il s'agit d'un sys- 

 tème continu déformable, auquf 1 castes équations (7j doivent 

 être remplacées par des équations aux dérivées partielles. 



2. Cette notion de force absolue est aussi empruntée h 

 M. Painlevé. 



3. Cela ne veut pas dire que les composantes de (F) par 

 rapport au trièdre de référence sont des invariants: c'est le 

 vecteur qui est un invariant, c est-à-dire ses crmiposantes par 

 ra))port à un trièdre de coordonnées auxiliaire quelconque, 

 clioisi une fois pour toutes, indépendamment de tout trièflre 

 de référence, et qui peut être, par exemple, le premier triè- 

 dre (T). 



