504 M. G. MITTAG-LEFFLER. — LES FONDEMENTS DE LA THEORIE DES NOMBRES 



faudrait probablement un voltage de l'ordre du 

 million de volts. 



Dans tous les cas, il parait clair que la rela- 

 tion de Planck ne se vérifie pluspour l'excitation 

 des hautes fréquences par des électrons rapides, 

 mais peut être utilisée avec unegiande approxi- 

 mation pour les fréquences plus basses corres- 

 pondant à la radiation excitée par quelques cen- 

 taines ou milliers de volts. D'autre part, l'étude 

 des rayons 6 excités par les rayons X ou les 

 rayons 7 indique certainement que la relation 

 E = p/iv se vérifie très approximativement pour 

 la plus haute fréquence étudiée. Il est donc clair 

 que l'émission des rayons /3 et y des atomes ra- 

 dio-actifs est nettement reliée à la théorie géné- 

 rale delà radiation; une étude approfondie de 

 ces radiations jettera sans doute une i>rande 

 clarté sur le mécanisme de la radiation en gé- 

 nérai. 



11 n'est pas douteux non plus que les rayons y 

 pénétrants des matières actives ont leur origine 



dans la vibration des systèmes électroniques de 

 la structure de l'atome extérieure au noyau. Le 

 noyau lui-mêmedoit être violemmenttroublépar 

 l'expulsion d'une particule a ou S. Si cette pertur- 

 bation conduit à l'émission d'une radiation y, elle 

 doit être d'une fréquence excessivement élevée, 

 car les forces qui maintiennent unies les par- 

 ties composantes du noyau doivent être extraor- 

 dinairement intenses. On doit prévoir que cette 

 radiation soait extièmement pénétrante et diffi- 

 cile à déceler par les méthodes électriques. 

 Comme on n'a encore obtenu aucune preuve 

 expérimentale del'existence de radiations defré- 

 queiice aussi élevée, il sera nécessaire de trouver 

 des méthodes spéciales pour pouvoir les mettre 

 en évidence'. 



Sir Ernest Rutherford, 



.\!eml)re de iu Société Roj-aJe de Londres. 



1. Conférence fjtite devant la <' Royal Institution » le 

 4 juin Î'JI5, li-aduite de l'anglais par M. Louis Brunet. 



LES FONDEMENTS DE LA THEORIE DES NOMBRES 



L'Analyse supérieure, créée en même temps 

 que le Calcul dilTérentiel et intégral, est devenue 

 dès le principe et déjà dans les mains des pre- 

 miers créateurs un instrument d'une capacité 

 puissante. L'horizon qui s'ouvrit à ses exploits 

 paraissait dès l'ajjord sans bornes. N'ayant pas le 

 moyen d'évaluer à sa juste mesure la nouvelle 

 force qu'on venait de découvrir, on crut qu'elle 

 était inépuisable. 



Comme marquant la fin de celte première et 

 glorieuse période, ouverte parles Ne\\ ton et les 

 Leibnitz. il faut citer, avant tous les autres, les 

 grands noms d'Euler et de Lagrange. On com- 

 mençait déjà à entrevoir des bornes, qu'il n'était 

 paspossible dedépassersans revenir aux sources 

 mêmes du calcul pour les assainir et les appro- 

 fondir. 



Alors s'élèvent, au commencent du siècle qui 

 précède le niitre, de nouvelles voix, celles de 

 C. 11. Gauss, Louis-Augustin Cauchy et Niels 

 llenrik Abel. Gauss a caractérisé sa manière de 

 comprendre les .Mathématiques dans une lettre 

 remarquable à l'astronome Schumacher. 11 dit : 

 « Il est caractéristique pour les Mathématiques 

 modernes, contrairement à ce qui est le cas pour 

 celles de l'antiquité chissique, que, par nos no- 

 tations et notre terminologie, iioussommesentrés 

 en possession d'un levier au moyen duquel l'ar- 

 gumentation la plus compliquée peut être réduite 



à un certain mécanisme. Par là, la science a 

 caefué infiniment en richesse, mais, ce levier 

 étant manié comme il l'est en général, elle a 

 aussi perdu en beauté et en solidité. Combiende 

 de fois ce levier n'est-il employé que machinale- 

 ment, quoique le droit de s'en servir présuppose 

 dans la plupart des cas certaines hypothèses 

 implicites. J'exige que toujours, chaque fois que 

 l'on elTectue un calcul ou emploie un terme, l'on 

 garde présentes à l'esprit les hypothèses primi- 

 tives, et que l'on ne considère jamais les produits 

 du mécanisme comme des possessions acquises 

 autrement (jue dans la mesure où le droit de le 

 faire a été clairement établi. » 



Ce programme, il le réalisait d abord pleine- 

 ment dans ses célèbres « Disquisitiones arith- 

 meticic » (l.SOi), qui resteront, dans les siècles 

 futurs, avec le cours d'Analyse de Cauchy (1821) 

 et le mémoire sur la formule binomiale d'Abel 

 (l.S2()), des monuments impérissables de la pen- 

 sée pure. 



Mais il manquait toujours la pierre fondamen- 

 tale pour la construction de cet édifice solide et 

 harmonieux, qu'on a appelé l'Analyse supé- 

 rieure, mais qui se nomme maintenant plutôt la 

 Théorie des fonctions. Ni Cauchy, ni Abel, ni 

 probablement Gauss ne sont parvenus à définir 

 d'une manière exacte, exempte de toute objection, 

 l'idée générale du nombre, élevée au point 



