iVl. C. iMITTAC-LEFFLKR. - I.F.S FONDEMFNTS DR LA TIIKORIR DES NOMIJRES -.05 



(l'embrasser tant les nombres entiers et fraclion- 

 iiaires que la iféiicralilé des nombres irrationnels. 

 ( >n [tossodait bien la conceplion de certains ôlres 

 sonmisaiix mômes refiles de calcnl que les nom- 

 bres entiers ou Fractionnaires sans pouvoir rtre 

 lainencs à ceux-ci. On connaissait, par exemple, 

 depuis la plus liante anti(iuité, le nombre qui est 

 la racine carrée du nombre 2, ainsi que le nom- 

 bre TT, (jui mesure la périphérie du cercle par son 

 rayon; on apprit à connaitie plus tard le nom- 

 bre e, base du système logarithmique; on con- 

 naissait des classes entières de nombres algébri- 

 ques, qui n'étaient ni entiers ni fractionnaires, 

 mais le point de vue qui devait embrasser tous 

 ces nombres de sources difl'érentes manquait. 



Dans les esprits de certains mathématiciens 

 llollait, il est vrai, l'idée un peu vague de la pos- 

 sibilité de ramener tous ces nombres à la classe 

 des nombres algébriques, c'est-à-dire les nombres 

 définis comme racines d'une équation algébri- 

 (|ue à coefficients entiers. Mais des chercheurs 

 plus clairvoyants s'occupaient en même temps de 

 démontrer, si possible, que les nombres e et tt ne 

 peuvent pas être de cette espèce. Ce fut le grand 

 analyste etalgébrisle Charles Hermile qui trouva 

 le premier une méthode générale pour résoudre 

 ce problème deux fois millénaire. 11 montre, il 

 est vrai, seulement que le nombre e n'est pas un 

 nombrealgébrique, mais une modification légère 

 de sa démonstration fait voir, comme Lindemann 

 l'a remarqué le premier, qu'il en est de même 

 pour le nombre t. 



La découverte d'IIermite est pourtant posté- 

 rieure à l'époque où la notion du nombre dans 

 toute sa généralité a été fixée. C'est en 1872 que 

 cette notion, connue auparavant seulement de 

 quelques initiés, a été mise en pleine lumière 

 par quatre publications de valeurs différentes 

 nfais comportant toutes une solution du pro- 

 blème. Nous reviendrons à l'exposé des diffé- 

 rents points de vue qui ont été suivis par les 

 quatre auteurs. 



Pour bien saisir toute la portée de la nouvelle 

 conception, il sera nécessaire de remonter d'abord 

 à la première source, c'est-à-dire à l'idée du 

 nombre entier. 



I 



Pour commencer, il me semble que le point de 

 départ des Mathématiques, comme d'ailleurs de 

 toute pensée, c'est la notion de //ombre entier, et 

 que, par conséquent, toute tentative de donner 

 une définition du nombre entier par d'autres 

 notionsconsidérées comme antérieures est vaine. 

 Si l'on tâche, d'un autre côté, de concevoir 



comment naît l'idée de nombre entier, en écar- 

 tant toutes les déterminations accidentelles 

 provenant de l'expérienci; externe, je crois qu'on 

 arrivera nécessairement à la conception que 

 cette idée est obtenue pai' une e\p(;rience interne 

 pouvant être décrite comme suit: dans l'esprit 

 on retient une donnée, l'unité, le premier nom- 

 bre, et puis encore une fois ce même objet, pro- 

 cédé par lequel se forme le deuxième nombre, et 

 puis on continue de la même manière. Je consi- 

 dère les nombres obtenus ainsi en partant de la 

 même unité comme appartenant à la même suite 

 de nombres, et je disd'eux qii ilsontélc formèsde 

 la même unité. lisse suivent dans un ordre déter- 

 miné, de sorte que pour deux nombres quelcon- 

 ques on peut indiquer lequel des deux est anté- 

 rieur, lequel est^os<e/7'e«r. Chaque nombre, sauf 

 le premier, est immédiatement précédé par un 

 autre, et chaque nombre, y compris le premier, 

 est immédiatement suivi par un autre. 



Ensuite, le processus par lequel se forment 

 les nombres n'a pas de fin ; on peut toujours le 

 continuer au delà du point où l'on s'est arrêté. 

 Tout le monde admet que la pensée est capable 

 d'embrasser à la fois un groupe de nombres ainsi 

 obtenus, mais ceux qui sont habitués à limiter leur 

 pensée par l'expérience externe énoncent de 

 temps à autre l'opinion qu'il est impossible à la 

 pensée d'embrasser à la fois tous les nombres, la 

 totalité des nombres. « 11 est impossible à la 

 pensée de comprendre un espace infini ». voilà 

 une doctrine que, pour alléguer un exemple, je 

 retrouve dans un essai populaire d'un natura- 

 liste connu '. 



Parmi les mathématiciens modernes, cette 

 façon de voir ne semble pas avoir eu d'autre 

 champion que Kronecker. Cependant Kronecker 

 n'a jamais exposé d'une manière précise pour- 

 quoi il voulait abolir l'idée de l'infini, et d'ail- 

 leurs il s'est constamment servi de cette idée dans 

 de nombreux ouvrages, du reste de ses meilleurs. 

 Il est vrai qu'il aurait pu se défendre en préten- 

 dant que l'infini n'a pas été pour lui une réalité, 

 mais seulement un symbole du fait incontestable 

 que chaque nombre formé comme je l'ai dit pos- 

 sède un précédent (sauf le premieri et un sui- 

 vant. Ce symbolisme serait alors de la même 

 nature que celui dont on se servait à l'époque où 

 l'on ne reconnaissait pas la réalité des nombres 

 complexes et, avant cela, des nombres négatifs, 

 en considérant ces nombres comme n'étant rien 

 d'autre que des symboles pour des relations 

 existant entre des nombres positifs. Mais dans ce 



1. SvANTE Arkhenius : yianniskan infijr viirldsgalnii. 3' éd., 

 page 147. 



