500 M. G. MITTAG-LEFFLER. — LES FONDEMENTS DE LA THEORIE DES NOMBRES 



cas l'idée avancée par Kronecker aboutit au plus 

 complet formalisme et ne se réduit qu'à une que- 

 relle de mots. 



Il est clair, à mon avis, que, dès la première 

 éclosion de la pensée, en même temps qu'on se 

 trouve en possession du nombre, on l'est égale- 

 ment de l'infini, lequel, délivré de tout ce qui est 

 accessoire, n'est que l'objet de la pensée consti- 

 tué par l'ensemble de tous les nombres, .le crois 

 aussi qu'en essayant de n'importe quelle autre 

 façon d'établir la notion de l'infini, par exemple 

 en appliquantla méthode déductive que Dedekind 

 a élaborée avec tant de finesse, on arrivera à 

 conclure, si l'on examine minutieusement les 

 prémisses, qu'en réalité on était parti de cette 

 première notion de l'infini, qui était donnée dès 

 le début. 



Les notions des relations d'éga/ité et d'inéga- 

 lité existant entre les nombres s'obtiennent par 

 définition. Les nombres ne sont égaux que dans 

 le cas où ils sont les mêmes. Dans tous les an- 

 tres cas, ils sont inégaux. 



Nous avons posé comme unité un quelque 

 chose, un objet quelconque. Si l'on n'y attache 

 aucune autre détermination que celle d'être, lors 

 de la formation du nombre, ce qu'on retient dans 

 l'esprit, l'unité est désignée par un, le nombre 

 suivant par deu.r, etc., et je veux appeler ces nom- 

 bres, dont l'unité est un, des no/nbres absolus. La 

 notion d'inférieur et de supérieur n'est pas pour 

 des nombres pareils une notion irréductible qui 

 s'attache à toutes les grandeurs en général, mais 

 elle s'obtient par définition de la manière sui- 

 vante : de deux nombres absolus inégaux, le 

 nombre antérieur est dit inférieur, le nom]>re 

 postérieur est dit supérieur. 



Le théorème qu'il n'y a pas de nombre qui ne 

 soit suivi d'un autre prendra donc, d'après cette 

 conception des nombres absolus, la forme sui- 

 vante: « II n'y a pas de nombre qui soit supérieur 

 à tous les autres. » 



II 



De la notion dénombre entier, laquelle, selon 

 moi, est antérieure et fondamentale, on arrive 

 directement à celle du dénombrement d'une mul- 

 titude d'objets. Supposons donnée une collection 

 d'objets. Retirons de cette collection un objet et 

 attribuons-lui le nombre un; retirons encore une 

 fois un objet et attribuons-lui le nombre (leu.i\ 

 puis encore un objet qui aura le nombre trois, et 

 continuons à répéter ce procédé. Si, de cette 

 manière, on arrive enfin à un dernier nombre m, 

 m représente le résultat du dénombrement, le 

 nombre qui indique combien d'objets sont 

 contenus dans la collection donnée. Cette notion 



se désigne en suédois par le mot « antal », en 

 allemand par le mot « Anzahl », mais en français 

 il parait qu'il n'existe pas un mot synonyme. 

 C'est la faculté de la pensée de retenir deux ob- 

 jets joints l'un à l'autre qui rend possible la dé- 

 termination de ce nombre m. Or, maintenant se 

 pose la question: Est-ce que ce nombre m d'obr 

 jets contenus dans la collection donnée reste 

 toujours le même, indépendamment de l'ordre 

 dans lequel les objets sont attribués aux nombres 



I km, ou, en d'autres termes, est-ce quecenombre 

 est un invariant de la collection donnée d'objets? 



II en est bien ainsi, comme il ressort du raison- 

 nement suivant : 



a b 



XXXXXXXXXX 

 P 1 



h a 



XXXXXXXXXX 

 P 9 



On admet a priori que si deux objets changent 

 de place de telle manière que l'objet a, qui avait 

 étéatti'ibué au nombre p, prenne la place de l'ob- 

 jet /', qui avait été attribué au nombre cj, de sorte 

 que b soit attribué à p et que a soit attribué à q, 

 le nombre m leste toujours le même. Retirons 

 maintenant delà collection donnée d'objets « < m 

 objets. S'il est vrai que le nombre m ne varie 

 pas, quel que soit l'ordre dans lequel on dénom- 

 bre ces n objets, ce nombre m restera aussi, en 

 raison du susdit axiome, invariable, si l'on retire 

 encore un objet de la collection. Par conséquent, 

 comme ni reste invariable si on prend « =: 2, il en 

 sera de même pour n =3, puis pour n = 4, et en- 

 fin pour n =in. 



Nous rencontrons ici pour la première fois un 

 syllogisme quia été dénommé piincipc de l'induc- 

 tion complète, ou syllogisme de n à « + 1. Ce syl- 

 logisme ou mode de démonstration consisteen ce 

 qui suit : On démontre que, si un théorème est 

 valable pour un nombre quelconque n, il l'est 

 aussi poui' le nombre suivant «-j-1. Or, si le 

 théorème est valable pour un certain nombre 

 donné n, dans notre cas le nombre 2, il est aussi 

 valable pour le nombre /( -|- 1, de même pour le 

 nombre suivant, puis pour celui qui vient après, 

 et ainsi de suite, ou, en somme, pour tous les 

 nombres qui sont postérieurs au nombre donné. 



Poincaré, et d'autres auteurs, à sa suite, ont 

 souligné que le syllogisme de « à «-f-1 constitue 

 un des principaux modes de démonstration, 

 peut-être même le pi'incipal, de la Mathématique. 



Pouvoir dénonibier ou compter une multitude 

 donnée d'objets donnés, c'est une faculté qui est 

 propre à l'homme sans probableuient l'être aux 



