M. G. iMITTAG-LEFFLER. - I.KS KONDKMENTS T)K FA THÉOF^IR DES NOMBRES 507 



animaux. Si comptern'élail autre (■iu>sn(|ue d'cm- 

 hi-asser dans l'esprit plusieurs objets, sans leur 

 attriljuer en même temijs une série de nombres, 

 i;ettel'acult(' ni> serait [)as exe! iisi veinent humaine. 

 L'oie même compte sans doute ses petits de celte 

 manière. Chez les peuples primitifs, (|ui n(' sont 

 pas du tout ou seulement imparfaitemonl ca|)a- 

 bles d'indiiiuer le nombre d individus d'un orand 

 troupeau, on peut constater une facuilc' très dé- 

 veloppée pour comijterde celte manière, de soite 

 qu'il ne leur faut qu'un moment d'attention pour 

 indiquer combien d'individus manquent dans un 

 troupeau, pourvu que, toutefois, ce nombre ne 

 soit pas excessivement grand. 



A défaut de cette faculté de la pensée de faire 

 correspondre un objet à un autre, c'est-à-dire de 

 compter, la Mathématique n'existerait pas. C'est 

 tle cette faculté qu'a jailli la science mathéma- 

 tique. 



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Nous avons vu que chaque nombre est immé- 

 diatement suivi par un autre et qu'ét;alement 

 chaque nombre, excepté le premier, est immé- 

 diatement précédé par un autre. Or si, à partir 

 d'un certain nombre donné, on parcourt la série 

 des termes en sens inverse, en donnant le nombre 

 un à ce nombre donné, le nombre deux à celui 

 qui le précède, etc., ou, autrement dit, si l'on 

 compte en arrière, on arrive toujours à une fin, 

 et on obtient le même nombre que si l'on avait 

 compté en avant, c'est-à-dire du premier nombre 

 jusqu'au dernier. C'est là une conséquence im- 

 médiate de ce que le nombre qui indique le ré- 

 sultat du dénombrement d'une multitude d'ob- 

 jets donnés est un invariant. Une fois en 

 possession de l'idée lie nombre entier, on arrive 

 directement par une définition à la notion de la 

 somme de deu.v nombres. Cette notion se définit 

 comme suit : la somme de deux nombres est un 

 nombre nouveau qu'on obtient si l'on continue 

 la répétition de l'unité, qui a eu lieu lors de la 

 formation du premier nombre, autant de fois 

 qu'il a fallu lépéter l'unité pour former le 

 deuxième nombre. Poincaré a relevé que cette 

 définition de la somme, quoique se présentant 

 forniellcment comme une seide définition, esten 

 réalité une « cascade » illimitée de définitions, 

 une définition pour chaque combinaison de nom- 

 bres. Dans ce mode de définition qu'on rencontre 

 ainsi dès le début et qui va apparaître consta.m- 

 ment dans les déductions mathématiques, se re- 

 trouve l'explication du fait que la science des 

 nombres, c'est-à-direlesMathématiques, pendant 

 sa marche ininterrompue, conquiert toujouis de 

 nouveaux domaines. 



Après la définition de la somme, on obtient 

 par le simple emploi du syllof^isme de n i\ n 1 

 les deux théorèmes fondamentaux : 

 a-\-[b'\-c) = {a-\-b} j- r, ou ihéoreme de ftisso- 

 cititin/i, 

 et 

 ti -\- b z= h -\- Il , ou Ihéor'eme de lu cotnntulation. 



Ensuite on obtient le théorème suivant : 



« Si deux nombres sont donnés, il y a tou- 

 jours dans le même système un troisième nom- 

 bre univoquement donné, tel que la somme du 

 nombre antérieur parmi les deux nombres don- 

 nés et du troisième nombre égale le nombre 

 postérieur «, ou en langage algébrique, « si 

 (i et b sont donnés et si a est antérieur à b, il 

 existe toujours un nombre univoquement donné 

 .(■ tel que a -\- x =^ b ». 



Je ne veux pas m'arrêter plus longtemps à la 

 théorie des sommes ni à celle des produits ou de 

 la division; je mécontente d'indiquer que « étant 

 un nombre donné dans un certain système et n 

 un nombre absolu, le produit de a par n ou le 

 le multiple n'*'"° de a désigne la somme de n 

 nombres a et s'écrit a . n. 



En langage algébrique, c'est le problème du 

 maintien de l'égalité .( . n = /', même dans le cas 

 où è n'est pas le produit d'un nombre a et d'un 

 nombre absolu n, qui a forcément amené la pre- 

 mière extension de l'idée de nombre. Nous arri- 

 vons à cette extension en attribuant à l'unité du 

 systèmedes nombreslapropriétésuivante : « Etant 

 donné un nombre absolu quelconque n, l'unité 

 est le multiple «■«•'"« d'une autre unité univoque- 

 ment donnée dès qu'on a le nombre /( », ou, en 

 d'autres termes : « L'unité du système est toujours, 

 de quelque façon que l'on ait choisi n, dn-isible 

 en n parties équivalentes, et cela d'une seule 

 manière. » 



Dans toute égalité ayant lieu dans un système 

 de nombres dont l'unité est e, on pourra, quel 

 que soit le nombre absolu n, remplacer l'unité e 

 par le multiple n''^'"^ de la partie «'<'""' de e. D'au- 

 tre part, le multiple /i'<^'"« de la partie n'ème de e 

 peut se remplacer par e. Ces prémisses données, 

 on démontre que chaque partie de e est à son tour 

 divisible en n'importe quel nombre indiqué à 

 l'avance de parties. 



Notre système de nombres, qui auparavant ne 

 comprenait que les nombres entiers, est étendu 

 de cette manière de façon à comprendre aussi 

 chaque multiple d'une partie quelconque de 

 l'unité du système. L'unité f<« dans le système 

 des nombres absolus reçoit, en dehors de la déter- 

 mination d'être l'objet qu'on relient dans l'es- 

 prit lors de la formation du nombre, aussi la 

 détermination d'être divisible, et ce sont les 



