508 M. G. MITTAG-LEFFLER. — LES FONDEMENTS DE LA THEORIE DES NOMBRES 



nombres formés par un et ses parties, voir les 

 nombres rationnels, qui constitueront désor- 

 mais le système des nombres absolus. 



La détermination de divisibilité attribuée à 

 l'unité d'un systc'me de nombres entraîne cette 

 conséquence que l'égalité .r. n z= b, qui a 

 amené l'indroduction de cette idée de divisibilité, 

 reçoit toujours une solution et une seule. En lan- 

 gage algébrique, c'est le problème nouveau de 

 la résolution de l'équation r. .r = A, où A n'est 

 pas un nombre carré, qui a d'abord ouvert les 

 yeux sur l'utilité ou même la nécessité -d'une 

 extension ultérieure de l'idée de nombre. Or, cette 

 extension se présente, nous le verrons, immé- 

 diatement après l'amplification grâce à laquelle 

 le système des nombres comprend à côté des 

 nombres entiers tous les nombres rationnels. 

 Comme toutes les grandesdécouvertes, elle paraît 

 d'une simplicité limpide, une fois trouvé le vrai 

 point de sortie. 



Faisons d'abord la remarque suivante. Vu qu'il 

 existe toujours entre deux nombres rationnels 

 donnés, si rapprochés qu'ils soient l'un de l'au- 

 tre, plus de nombres rationnels que chaque nom- 

 bre donné, il semble d'abord que l'idée de l'in- 

 fini a du subir une extension importante par 

 l'introduction de ces nouveaux nombres. Mais il 

 n'en est rien. Nous avons déjà parlé de la faculté 

 de la pensée de coordonner deux objets, et par 

 là nous avons pu éclaircir la nation de dénom- 

 brement. Mais, de même que nous pouvons attri- 

 buer à chacun des nombres 1, 2..., m, un objet 

 déterminé, par exemple un nombre rationnel a, 

 et concevoir ensuite l'ensemble des différents 

 nombres a comme un nouvel objet, tout aussi 

 bien sommes-nous en état d'imaginer qu'à cha- 

 que nombre entier v sans restriction correspond 

 un nombre déterminé a; et de même que la col- 

 lection des (I attribués aux nombres 1, 2, 3,.. /« 

 est pour nous une chose claire et déterminée, de 

 même l'ensemble des a attribués à tous les v 

 devient un objet nouveau qui est parfaitement 

 déterminé, pourvu qu'il en soit ainsi de chaque 

 a individuel Or, on peut facilement montrer 

 que tous les nombres rationnels peuvent être dis- 

 posés de façon qu'à chaque nombre entier v cor- 

 responde d'une manière univoque un nombre 

 rationnel a et inversement qu'à chaque a cor- 

 responde un seul nombre entier v. 



« L'ensemble des nombres rationnels ne cons- 

 titue pas un infini d'une puissance supérieure à 

 celle qui est définie par l'ensemble des nombres 

 entiers. » 



Mais, si l'idée de l'infini n'a pas subi d'exten- 

 sion par la généralisation qui conduit du nombre 

 entier au nombre rationnel, cet agrandissement 



du monde des nombres a, d'un autre côté, rendu 

 possible l'introduction de nombres qui résol- 

 vent l'équation .t. x := A, c'est-à-dire de nombres 

 soi-disant irrationnels, et cette introduction a, 

 en même temps, conduit à la juste interprétation 

 de l'idée générale du nombre irrationnel. 



Désignons par {a) une collection de nombres 

 rationnels diilërents l'un de l'autre, soumis à la 

 seule condition que la somme d'un nombre quel- 

 conque d'entre eux soit toujours inférieure à un 

 certain nombre donné. Un tel choix des a est 

 toujours possible, comme on le voit par exemple 

 en prenant pour [a) l'ensemble des nombres 

 1 



1,2,3... 



IV 



Voyons maintenant, en suivant Weierstrass, à 

 quelles lois doivent être soumis les groupes («) 

 pour qu'ils obtiennent eux-mêmes le caractère 

 de nombres. Disons, pour simplifier notre lan- 

 gage, qu'un nombre dans le sens que nous avons 

 déjàdonnéaumot, c'est-à-dire un nombre ration- 

 nel,est «contenu» dans le groupe («), si de (a) on 

 peut retirer un certain nombre de nombres a 

 de telle façon que la somme de ces a soit supé- 

 rieure au nombre rationnel en question. Nous 

 considérerons dorénavant seulement de tels grou- 

 pes (il) pour lesquels il est valable « qu'il existe 

 un nombre rationnel non contenu dans («) ». La 

 notion de l'égalité entre deux nombres (a) et [b) 

 se définit maintenant ainsi, que (a) est égal à (b) 

 ou(ii) =^ [b), si tout nombre rationnel contenu 

 dans {il) est aussi contenu dans [b) et si de même 

 tout nombre rationnel contenu dans [b] est aussi 

 contenu dans (a). Par contre, on dit que (a) est 

 inférieur à {b) et tb) supérieur à [a), ou encore 

 que (n) e&lplus petit que [b) et (b) plus graïul que 

 (a), et on écrit [a] < [b), s'il existe un nombre 

 qui es t con tenu d ans (è) sans être contenu dans (a). 



On a par exemple ( — j == 1 ou < ( rrj < 2, 



comme on le voit immédiatement; d'autre part, 

 chaque [a) n'est pas égal à un nombre rationnel, 

 et par l'introduction de (n) comme nombre, on 

 obtient une extension du système des nombres 

 rationnels; on s'en rend compte aisément en 

 mettant pour les a les diilërents nombres 



17^^:^-^ = ^' 2- 3- 



Les notions d'égalité, de plus grand et de plus 

 petit pou\ani s'élargir jusqu'à s'appliquer aussi 

 aux groupes (a), il en est de même des notions 

 de somme, de différence, de produit et de dii'isi- 

 hilité, et on voit par une déduction tout élémen- 

 taire et directe que les mêmes lois qui régissent 



