M. G. MITTAG-LEFI-LER. — LRS FONDKMRNTS DK [,A TUF.OKIE DES NOMBRES 50n 



les mimlires latiomicls p(;uvent, sans inodilica- 

 tion, s'appliquer ëgalenieiil aux groujjcs (n). Les 

 groupes [(i) possédant de la manière indiquée 

 les iiiênies pi'()|)riotés (pie les nombres lalionncls, 

 ils s'imposent eux-mêmes comme nombres, el le 

 monde des nombres sera dorénavant constitué 

 par l'ensemble des groupes [n). Dans ce monde 

 des nombres se trouvent alors, entre aulres, le 

 1 



nombre e (le groupe 



1, 2, 3... ([ue 



.1,'2... 



nous venons de rencontrer), le nomljre k, ainsi 

 ((ue les nombres algébriques non rationnels et 

 i)ien d'autres d'un intérêt plus ou moins grand. 

 Mais maintenant se pose la question : ne serait- 

 il pas possible d'élargir encore l'idée du nombre, 

 en introduisant dans les groupes (a), au lieu des 

 a, des groupes? On n'y gagnerait rien. Un 

 ensemble de cette nature peut toujours être 

 ramené et égalé à un de nos groupes {a). La 

 démonstration de cette propriété comme de 

 toutes les autres dans la Théorie générale des 

 nombres peut toujours être ramenée d'une 

 manière plus ou moins directe à la solution du 

 problème qui consiste à exprimer le nombre le 

 plus général sous une forme arithmétique uni- 

 que, qui sera individualisée d'une manière 

 univoque pour chaque nombre ]iarticulier 

 obtenu en lisant les dillerents éléments a. Il est 

 vrai que ce problème peut être résolu de diiVé- 

 lentes manières; mais, comme la solution de 

 Weierstrass a été la source originale de toute la 

 théorie qu'on appelle maintenant la thc-orie des 

 ensembles, et comme son mode de démonstra- 

 tion permet en même temps d'embrasser sous un 

 même point de vue tous les théorèmes fonda- 

 mentaux de cette théorie, je me propose, en me 

 rapportant à lui, d'exposer sa méthode. 



Je commence par démontrer la proposition 

 suivante : 



« Chaque [a] qui ne contient pas le nombre un 

 peut toujours, m étant un nombre entier donné 

 supérieure un, se représenter et d'une manière 



/ l'A 

 unu|ue sous la forme — > '■' = 1,2, .3...; les h., 



sont des nombres entiers inférieurs à m. 11 peut 



arriver que pour certaines valeurs de v le — cor- 



respondant n'apparaisse pas dans 



cela n'est pourtant jamais le cas pour tous les v 

 dépassant un certain nombre donné. » 



F'ormons la série -. -L. 1,^... Il existe un pre- 

 m m- /ir' ' 



REVUE CKNlhlALE DES SCIENCES 



micr nombre —qui est contenu dans(flK.\ ,u' 



correspond d'autre part un rionii)re entier 



/'; 

 "' m' tel ([lie — soit contenu dans {rij, sans 



///' 



que cela soit le cas |)oui' 



". + 1 



On a dont 



Or, comme 



m' 



1 



1 



m' 



:,... sont tous contenus 



m -f- ni' -^ 

 dans [a], on obtient une suite illimitée d'inéga- 

 lités : 



"„ 



\a\ 



'V + 1 



Il s'ensuit qu'on a : 



m.nii. ^ / , ^ m.riii. + "* 



ml'- 

 n „ 



I 



rt 



ml'- + ' 



+ 1 



-î<M-i "+' 



et 



ml'- + ' ■ ■ mi' + 



Par conséquent : 



rt^ _j_) < m.n^ + m, 



m.n„ ^ /(„ ^ , ^ m.,,^ -\- m — 1. 



L'égalité /)i.n,j^zzzn,j _:_ i ne peut exister pour tous 



les u. supérieurs à un certain u, car dans ce cas (a) 



"a 

 qui contient — ne pourrait contenir le nombre 

 ml' 



V -I- ," 



î^-^•, où nii'-i'v. - "a-i- ./■■ quelque grand que 



ml' 



nous choisissions u! . Comme, d'autre part, par 



une augmentation suffisante de a, le nombre 



l _ 



— -r — ■ peut être léduit au-dessous de toute 



ml' T~ ■ 



limite et que a peut toujours être choisi de ma- 

 nière que 



1 



1 



1 



,," + f' 



nv /«'■^-rr mi'^i' mi- — i' mi' " i'- 



soit contenu dans [n], il y a toujours des nom- 



lires 1 — -, („2« /'^ . "ul4- </') qui sont contenus 



dans ((/). Formons maintenant la série //,, //j 



l'i^... où l'on met ; 



h y = n, 



n., .ui=m.n,, i- li^_^ i; ^ = ,/, + \/, -\-%.., 

 et oùfont défaut les nombres /i^Ji^... /;; _( aussi 

 bien que le nombre /'« ^ i. chaque fois([ue l'on a 

 I "m _!_ \z^m.n^. 



