510 M. G. MITTAG-LEFFLER. — LES FONDEMENTS DE LA THÉORIE DES NOMBRES 



Or, il est facile de montrer que 



Soit - un nombre fractionnaire qui est eon- 

 tenu dans {a). On peut toujours choisir p assez 



grand pour que — < t- et qu en même temps 

 /?«'" g 



" 4- — soit contenu dans i/i). 

 q ' m!' 



On aura donc 



q ml' 





d'où suit 



Z < !!^ = ^ _(- ^'^ + ' _|_ j^'Ijl 



q mf m' /«' ^ ■ 



TW'' 



Par conséquent - est contenu dans ( — ). 



'/ \nfj 



Pi '''v \ 



Si, d'autre part, - est contenu dans 1 — , on 

 9 \m' 1 



peut toujours choisir ^ assez grand pour que 



p ^ ''■> /';.+ ! , 1,1' 'V ,, , 



C < 1 1- ... H = — -, d ou on con- 



q m' m' + ' /»'' z»/' 



dut que - est contenu dans [a] 

 9 



VI 



Une modiflcation légèi'e de notre raisonnement 

 conduit à un nouveau théorème, lequel constitue 

 le point de départ de la théorie des ensembles. 

 Ce théorème a également été, pour la première 

 fois, exactement formulé et démontré par Weiers- 

 trass. Voici l'énoncé : « Si entre A et B, A étant 

 inférieur à B, il existe plus de nombres [a] iné- 

 gaux entre eux qu'un nombre donné quelconque, 

 il y a toujours au moins un nombre appaitenant 

 à l'intervalle [A < B] qui est une limite ou un 

 nombre limite des nombres {(i) u. 



Par une limite ou un nombre limite on entend 

 alors « un nombre tel que, s'il est renfermé entre 

 deux nombres supposés aussi rapprochés qu'on 

 voudra, il y a toujours enti'e eux un nombre de 

 [a] plus grand que tout nombre indiqué à 

 l'avance ». Voici comment s'obtient une expres- 

 sion arithmétique de ce nombre limite. Divisons 

 l'intervalle [A ; B] en m parties égales 



[A<A + ^(B-A)], 



[A+i(B-Aj<A+i(B-A)J.., 



[A + '-^lB-AXB]. 



Il y a parmi ces intervalles un premier inter- 

 valle: 



[A + :;;i(B-A)<A + '-ii^(B-A)], 



qui comprend plus de [a] que n'importe quel 

 nombre donné. 



Si nous divisons encore cet intervalle en m 

 parties, il y a de même parmi ces intervalles nou- 

 veaux un premier intervalle 



[A+'4(B-A]<A+^^^(B-A)]; 

 '^ ' m- ' ' m- 



m. Hf é n^ é. m.. «, -)- m — 1, 

 (jui comprend plus de [a] que n'importe quel 

 nombre donné. 



En continuant de la même manière, nous obte- 

 nons une série d'intervalles 



[A + ^ (B - A)< A -I- ^^^ (B - A)] ; 

 /»•" ml' 



m.n^ ^ Hij j_ I é m.n. 



- m ■ 



■l:y.= l,2, 3..., 



tels que chaque intervalle postérieur constitue 

 une partie de l'intervalle antérieur, et qui tous 

 comprennent plus de iii) que n'importe quel nom- 

 bre donné. 



Le nombre A -|- / -^ ) (B — A), où n^ _|_ ^ _ 



:= m.n,j ~\- h,j j_ ^, est compris dans tous ces in- 

 tei'valles. Comme ceux-ci, par l'augmentation du 

 nombre u., peuvent être diminués autant qu'on 

 voudra, notre proposition se trouve par là dé- 

 montrée. 



Faisons encore observer qu'à rencontre de ce 

 qui avait lieu quand nous avons établi avec 

 \^ eierstrass le théorèmeprécédent, ilpeutarriver 



ici que dans le groupe j — j tontes les fractions 



\ m' ' 



K 



— fassent défaut à partir d un certain ï. 



m^' 



Ce qui est essentiel dans la méthode suivie 

 par Weierstrass, c'est, on le voit, qu'il démontre 

 l'existence du nombre dit limite en le formant 

 avec certains éléments qu'on suppose donnés. 



Une procédure tout à fait semblable à celle 

 déjà deux fois employée conduit, sans introduc- 

 tion de principes nouveaux ', à un autre théorème, 

 qui est une des pierres angulaires de la théorie 

 des ensembles, cette théorie subtile et profonde, 

 édifiée par Cantor sur la base w eierstrassienne, 

 et devenue dans la suite un des traits saillants 

 des Mathématiques de notre époque. Ce théorème, 

 qui a été aussi énoncé et démontré par Cantor, 

 bien que d'une manière un peu différente, 

 s'énonce comme suit : « Les nombres (a)^ étant 



1. Voir Ml rTA(;-Li-;i 1 i.iCK : « Sur les fondements arilliiiiéti- 

 ques de la tliéorie des fi)iictions d'après Weierstrass », 

 pages 22-2'i. Congres des inatliL-ntaliques à Stockholm, l'.'O'.l. 



