M. G. MITTAG-LEFFLER. - LES FONDEMENTS DE LA TFiEOKIE DES NOMBRES 511 



des nombres (|iielcoiuiucs idaiis noire sens élargi 

 du mot nombre), on peut toujours constituer un 

 nouveau mimbrc {a) qui n'est égal à aucun des 

 nombres {//).,. » l''n proc('(Iant de la tm-mc ma- 

 nière que lors de la fornialion du nombre limite, 



///.\ 

 on obtient le nombre l^u] sous la lorme — 1 



^ /II" ' 



employée par Weierstrass. (1 s'agit seulement de 

 calculer les //.^ avec les éléments donnés {a).^ et de 

 le faire d'unes telle manière que le nombre («) 

 ainsi formé ne devienne pas un des nombres («)„. 

 Ce théorème implique la solution de la nou- 

 velle question que voici: On a vu que l'idée de 

 l'infini n'a pas subi d'amplification lors du pas- 

 sage des nombres entiers aux nombres ration- 

 nels. Est-ce qu'il en est de même, quand on 

 s'élève jusqu'aux, nombres (a)? Le tb.éorème de 

 Gantor nous montre que c'est le contraire qui a 

 eu lieu. L'idée de l'infini vient, en réalité, par 

 l'introduction des nombres {a), de subir une am- 

 plification réelle et puissante. On arrive à une 

 espèce d'infini tout autre que celle qui, d'après 

 nous, est une réalité claire et fixée en même 

 temps que le nombre entier. On arrive au continu. 

 Le continu entre deux nombres A et B [A. <.B] 

 est Vensenible de tous les nombres supérieurs ou 

 égaux à A et inférieurs ou è^aux à B. 



VII 



Finissons par un mot sur les points de vue sui- 

 vis par Cantor-Heine, Méray et Dedekind pour 

 définir les nombres dans toute leur généralité. 



Cantor-Heine ainsi que Méray sont partis de 

 l'idée de limite. D'après eux, étant donnée une 

 suite ininterrompue de nombres rationnels «^ ; 

 ■j = 1, 2, 3... tous inférieurs à un nombre donné, 

 et telle que chatiue nombre soit inférieur au sui- 

 vant (la suite u ; j ^= 1, 2, 3... s'appelle chez 

 Cantor-Heine Fundamentalreihe, chez Méray tv;- 

 riante], il existe toujours un être défini d'une ma- 

 nière univoque par l'intermédiaire de ces nom- 

 bres. Cet être n'est autre que le nombre limite 

 que Weierstrass nous apprend à exprimer par 

 une formule arithmétique, édifiée sur les nom- 

 bres u.„ mais dont l'existence chez Cantor-Heine 

 est supposée a priori. 



Heine fait la remar([ue suivante: « ,]e prends 

 dans cette définition un point de vue purement 

 formel. Je qualifie de nombres certains signes 

 facilement saisissables; de cette manière, l'exis- 

 tence de ces nombres n'est pas douteuse ' . >> 



Méray dit d'un autre côté : « Telle est pour 



1 . Ich stelle midi bei der Définition auf den rein forinalen 

 Slandpunkt indem \<:\i gewisse greifbare Zeichen Zalileii neiine, 

 so das3 die Existenz dieser Zahlen also nichl in Frage 

 slehl. 



nous la nature des nombr(;s incommensurables ; 

 ce sont des fictions permettant dénoncer d'une 

 manière uniforme et plus pittoresque toutes les 

 positions rebilivcsaux invariantes convergentes.» 

 La définition de Dedekind est empruntée à 

 l'intuition géométrique. 11 s'exprime ainsi : « Si 

 tous les points d'une droite peuvent être parta- 

 gés en deux classes telles (jue chaque point de la 

 première classe soit situé à gauche de tout point 

 de la seconde classe, alorsilexiste un point et un 

 seul qui détermine cette division de tous les 

 points en deux classes, cette coupure de la droite 

 en deux morceaux. 



« Je ne suis pas en état de donner une démons- 

 tration ([uelconque de cet énoncé et personne ne 

 sera jamais en état de le faire. L'admission de 

 cette propriété de la droite n'est qu'un axiome, 

 par lequel nous attribuons à la ligne la conti- 

 nuité, par lequel nous lui imprimons le caractère 

 de la continuité '. » 



La définition de Dedekind pourra, on le voit 

 facilement, être présentée d'une manière arith- 

 métique. C'est ce qu'a fait entre autres Tannery. 

 Mais alors on arrive à introduire deux Funda- 

 mentalreihen (terminologie de Cantor-Heine) ou 

 deux variantes (terminologie de Méray), au lieu 

 d'une seule comme chez Cantor-Heine ou Méray. 

 Il me semble que la définition de Weierstrass 

 reste la seule qui jusqu'au fond rende compte 

 de la vraie nature du nombre en général et par là 

 du nombre soi-disant irrationnel. Ce nombre ne 

 se présente pas chez Weierstrass comme un sym- 

 bole, mais comme une réalité de même ordre que 

 la suite ininterrompue des nombres entiers. 



D'un autre cAté, l'existence du nombre limite 

 n'est pas chez Weierstrass supposée a priori. On 

 en démontre au contraire l'existence en créant 

 une expression arithmétique qui le représente. 

 On voit du reste qu'en partant des u^ et en in- 

 troduisant pour les nombres a dans notre exposé 

 de la méthode de Weierstrass les nombres «•>-;- / 

 — Uj, on retombe immédiatement sur la dite 

 méthode. 



M. G. Mittag-Leffler, 



Correspondant de l'Institut de. France, 

 Professeur à l'Université de Stockholm. 



1. Zerfallen aile Piinlcte der Geraden in z\\'ei Cla«gen von 

 der Art, dass jeter Punkt der ersten Classe links von jedem 

 Punkte der zweiten Classe liegt, so existirt ein und nur 

 ein Punkt, welcher dièse Eintlioilungf aller Punkte in zwei 

 Classen, dièse Zei-schneidung der Geraden in zwei Stiicke 

 hervorbriiigt. 



Ich biii ausser Stande irgend einen Beweis fiir seine 

 Richtigkeit beizubringen, und Nieniand ist dazu im Stande. 

 Die Aîinahme dieser Eigenschaft der Linie isl nichts als ein 

 Axioui, durch welches wir erst der Linie ihre Stetigkeît 

 zuerkenneii, durcli welches wirdie Stetigkeit in die Liniehi- 

 neindrucken. 



