IS-i H. -A. LOREXTZ — CONSIDÉRATIONS ÉLËMENTAIKES SUR LK PRINCIPE DE KELATIVITÉ 



dans le syslème de A avec- la vitesse \\ on a : 

 A'= vt. Et on trouve ensuite pour un autre point 

 de O'P', déterminé par le nombre de divisions a'. 



x=v/ + —. 

 a 



En efTel, pour l'observateur A, les a' divisions de 

 la règle mobile ('([uivalent à x'/h divisions de la règle 

 sur laquelle il mesure x; pour lui, la eoordonnée 

 du nouveau point surpasse donc constamment 

 de x'Ia celle du point 0'. 



Pour trouver la deuxième équation, nous imagi- 

 nons que B, placé au point 0' de sa règle, fait 

 l'expérience qui sert à comparer deux de ses chro- 

 nomètres, dont l'un se trouve au point 0' et l'autre 

 au point P' déterminé par la coordonnée x', en 

 supposant que ce soit en 0' à l'instant /' = que le 

 faisceau instantané est lancé. L'obseVvateur A dis- 

 cutera ce qui se passe. Pour lui, la distance des 

 points 0' et P' est égale à x'/n divisions de sa rè- 

 gle, et comme le départ de la lumière a lieu à 

 l'instant /=0, il trouve 



H) 



pour le temps de l'arrivée en P' et 



!i\C — v) a(c + V) u 



pour celui du retour en 0'. Il s'ensuit que l'horloge 

 mobile qui se trouve en ce point, et qui marche ii 

 fois plus lentement que les horloges de A, marque 

 alors 2a'/c, et que, en vertu de la manière dont les 

 chronomètres de B ont été mis d'accord, celui qui 

 est placé en F' marque x' je au moment où son 

 cadran est éclairé. C'est-à-dire que c'est là l'indica- 

 tion de ce chronomètre au moment (7) et, comme 

 nous savons déjà (ju'il marche <■/ fois plus lentement 

 tjue ceux de A, nous pouvons dire que si /' est son 

 indication au moment /, on aura : 



c II \ «{f — r/ 



ce (jui est la relation que nous avions à chercher. 



t? 7. — Les formules que nous venons de trouver 

 peuvent être mises sous une forme plus élégante. 

 Si l'on pose 



V 



V c- — 1 - 



on en iléduit 



lit' -\- - X . 



Notons que, dans ces formules de transforma- 

 tion, .■; et Ji sont des constantes dont les valeurs 

 dépendeiil de colle de la vitesse i, mais entre 

 lesquelles il y a la relation 



(10) . .V — y/- = i. 



En vertu de cette dernière, les valeurs de x' et de 

 /' qu'on lire des équations précédentes deviennent 



(H) 



x' =^ax— hcl, l' -. 



al- 



La première de ces l'ormules montre que, poui 

 une valeur déterminée de /, les changements 

 correspondants de x et de v' sont liés entre eux 

 par ré([uation : 



(12) A.v = -A.\'. 



D'une manière analogue, on a, en vertu de la 

 seconde des équations (9), pour une valeur lixe 

 de A"' : 



1 



(13) 



A/' = 



• A/. 



Ces formules expriment ce que nous avons dit 

 des effets d'une translation sur la longueur d'une 

 règle et la marche d'une horloge. 



Jusqu'ici, nous nous sommes borné à des points 

 de la ligne suivant laquelle on a placé les règles. Si 

 chacun des observateurs combine avec la coor- 

 donnée A ou a' deux autres r et z ou v' etz', perpen- 

 diculaires à la première et entre elles, on aura 



I 



V= V , z = z . 



vu que la translation ne change pas les dimensions 

 qui lui sont perpendiculaires. Ces nouvelles équa- 

 tions, jointes à (9) ou (11), nous donnent la rela- 

 tion complète entre les valeurs de x, r, z, /, qui 

 caractérisent un phénomène pour A et les valeurs 

 de a', r', x', t\ que R assigne à ce même phéno- 

 mène. 



5; 8. — Voici une conséquence remar([uable qu'on, 

 peut tirer de ces formules de transformation. 

 On a d'abord : 



.V -I- c( = I a -h i) (a' + <■!'), X- — cl = (a — /.) (.\' - .•/').. 



d'où par multiplication, en axant égard à (10 : 



x'- — (■■-(- = .\'- — t-/'-. 



et encore 



(U) x:' + y' + z' - c-'r- = x'- 



' -c-('=. 



Cela montre (pie l'observateur B, en se servant 

 de ses règles — dirigées suivant les axes — et de 

 ses horloges, pour mesurer x\ y', /', /', trouvera 

 pour la vitesse de la lumière la même valeur que A, 

 comme noire principe l'exige. 



En elfet, produisons un signal lumineux au 

 moment / =0 et au point a=:0, j' = 0, 7 = f cor- 

 respondant à /' = 0, .v'=0, r' = 0, z' — O). Dans 

 le svstènie de A, ce signal atteindra à l'instant / les 

 points de la surface spliérique déterminée par 

 l'équation : 



.\= + \- + z- = '■*(=. 



