184 H.-A. LORENTZ — COXSIDfiRATIONS ÉLÉMENTAIRES SUR LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ 



l'expérience est faite par A, et, au contraire, la 

 barre O'P', si elle est faite par B. 

 Nous ferons le calcul des deux longueurs en nous 



plaçant au point de 

 E F G vue de A, et nous 



commencerons par un 

 cas un peu général. 

 Désignons par L la 

 longueur de la per- 

 pendiculaire DE abais- 

 sée de l'ouverture D 

 idans la position 

 quelle occupe lors- 

 qu'elle est ouverte! sur 

 la ligne EF des barres, 

 et par À la distance de 

 D à la plaque photo- 

 graphique. Nous déter- 

 minerons la position 

 d'un point F de la ligne 

 EF par sa dislance .v au point E ou bien par l'angle 

 EDF=». La direction positive pour .v sera celle 

 de la vitesse r, et -.i aura le même signe que a. 

 Enfin nous supposerons que la plaque sensible se 

 meuve avec une vitesse w dans la direction des a 

 positifs. 



Pour chaque point d'une règle, qu'elle soit en 

 repos ou non, il y a un seul moment auquel il peut 

 émettre des rayons qui passeront par le trou à 

 l'instant où il est ouvert. Supposons que pour le 

 bout d'une barre qui se trouve du côté des a néga- 

 tifs, cet " instant d'émission » soit /„ et que la 

 position F qu'il occupe alors soit déterminée par la 

 coordonnée EF = a'„, ou par l'angle correspondant 

 EDF:=!fio. Soit /o + t l'instant d'émission pour 

 l'autre bout G. Pour le déterminer, on peut remar- 

 quer d'abord qu'à cet instant la coordonnée de ce 

 bout sera 



(i;;) 



-^'i = •''■o + 1' + y-^ 



si / est la longueur de la barre et v sa vitesse. 



A leurs instants d'émission, les bouts de la barre 

 se trouvent aux distances : 



V/L'-hA„' et yh' + ^x„ + l'+VLf 



de l'ouverture, et, comme la diiTérence des temps 

 que la lumière met à parcourir ces longueurs doit 

 être égale à l'intervalle entre les instants d'émission, 

 il faut qu'on ait : 



V^L" -I- (,\„ -I- ;' -f V't/ — V^L' -t- A„' = — .'T. 



Celle équation se simplifie si la distance L est 

 très grande par rapport à la longueur de la règle. 

 On peut alors omettre les termes en /' et en t', et 



on trouve : 



_ sin yo 



de sorte que l'expression (loi devient : 



\l = Vn -1- 



(■/' 



c + V sin »„ 



Soient /et ,'/ les points où le plan immobile qui 

 coïncide avec la plaque sensible est coupé par 

 les lignes FD et GD prolongées, et où se forment 

 par conséquent les images des deux bouts. On aura : 



(161 



^ = E-^«=I- 



• -i- !■ sin ç„ 



le point If se trouvant du côté négatif de /'. Mais, 

 comme les rayons traversent l'ouverture au même 

 instant, ils arrivent en y plus tard qu'en /', l'inter- 

 valle étant 



n<; — D/ _ / DG - Dl'' __ >. ^_ >^ sin 90 j, 



c L L L L' -|- r sin ç„ 



Dans cet intervalle, la plaque plwtographique 

 s'est déplacée sur une distance 



1', 



L c -{- V sin 9„ 



et la dislance des deux images, mesurée sur la 

 plaque, sera la somme de celle longueur et de la 

 longueur (16) : 



s = ?L . c + '^ sin <f„ ^, 

 h c -\- V sin 9(, 



Soient s, la longueur de l'image (te la barre fixe, 

 Sj celle de l'image de la barre mobile, et supposons 

 que dans les deux cas l'angle ■■^o ait la même valeur, 

 c'est-à-dire que les bouts des barres qui se trouvent 

 du côté des a- négatifs coïncident à un moment 

 qui est l'inslant d'émission pour l'un et, par consé- 

 quent, pour l'autre'. Pour la barre fixe on a : » =0, 



J' = /, et pour la barre mobile F ^-- Donc : 



(H) 



tA 



1 -|- - sin i„ )a 



c-\- V sin ï( 



1\ 



On voit que le résultat de la comparaison dépend 

 de l'angle (»„. Or, si l'observateur A veut se placer 

 dans les conditions les plus simples, il fera la pho- 

 tographie des barres au moment où l'une glisse le 

 long de l'autre, en plaçant son appareil sur une 

 ligne perpendiculaire à leur longueur. Dans ce cas, 

 qui correspond à ç„ = 0, il peut dire, parce qu'il 

 néglige les termes en l', que tous les rayons effec- 

 tifs ont été émis au même instant. 



Quant à B, il imitera de sa manière ce que A vient 

 de faire; il réalisera le cas où, dans son syslème,j 



' Nous aurions pu tout aussi bien supposer que ce soient 

 les milieux des liarres qui coïncident de cette manie re. Le 

 résultai resterait le même p.irce qu'on peut nt'f,'ligei' les 

 ternies en I'. 



