RIBLIOGRAPHIE — ANALYSES ET INDEX 



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BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1° Sciences mathématiques 



linoblaucli (J.)- — Grundlagen der Differential- 

 geometrie (Les bases de la géométrie infinitésimale). 

 — 1 \ol. in-S" (le 63i: pages. {Prix : 22 l'r. 30.j ll.-U. 

 Teubiu'V. Leipzig et Berlin, 1913. 



L'ouviMge de M. Knoblaiich est un exposé systi-ma- 

 (iquc et très complet de toutes les notions et formules 

 sur lesquelles on peut faire reposer la (léométrie infi- 

 nitésimale, abstraction faite des systèmes triples 

 orthogonaux, dont il n'est pas fait mention. 



Bien (jur l'auteur remonte aux sources mêmes de la 

 théorie des courbes et des surfaces, s'appuyant uni- 

 quement sur les éléments de la Géométrie analytique, 

 son livre ne saurait s'adresser à un débutant. Les 

 questions y sont toujours envisagées du point de vue 

 le plus général, et leur intérêt est souvent masqué par 

 la complication des calculs auxquels elles donnent lieu. 

 Le géomètre déjà initié trouvera, à coup siir, dans 

 l'ouvrage de .M. Knoblauch, toutes les formules pouvant 

 lui servir de point de départ pour une recherche quel- 

 comiue. .Mais, un commençant s'y perdrait et acquerrait 



, l'impression, bien injustiliée, que la Géométrie n'est 



', accessible (ju'à celui qui ne recule pas ;levant des 

 calculs longs et pénibles, au milieu desquels .M. Kno- 

 blauch semble, certes, très à l'aise, mais qui pour- 



\ raient être évités parfois par quelques lignes de rai- 



, sonnement. 



Le chapitre I est une introduction à la théorie des 

 courbes : tangente, plan normal, plan osculateur, nor- 

 male principale, binormale, courbure, torsion, sphère 



> osculatrice, hélices. X propos des formules de Frenet, 

 l'auteur introduit une opération à laquelle il attache 

 beaucoup d'iiuiiortance et dont il fait un fréquent 

 usage dans la suite : c'est la dillerentiution géomé- 

 trique le long d'une courbe. Si s désigne l'arc de cette 

 courbe et o une fonction en dépendant, il ap|ielle 

 dérivée géométrique e( représente par le symbole 0ï 



la dérivée ordinaire—^- Ce n'est évidemment là qu'une 



simplification purement formelle, mais qui, dans cer- 

 tains chapitres, rend les calculs plus élégants et plus 

 abordables. 



Le chapitre II est consacré à l'introduction des sur- 

 faces et à l'établissement des formules classiques rela- 

 tives à l'élément linéaire et aux angles dans le plan 

 tangi'Ut. I.a dillérentiation géométrique de certains 

 'iisinus directeurs conduit à une généralisation des 

 fiirmules de Frenet, où se présentent, comme coef- 

 ficients, la courbure normale, la courbure tangenlielle 

 (ou géodésique; et la torsion géodésique. 



Le chapitre III concerne l'étude de la courbure nor- 

 male et des questions classiques qui s'y rattachent. 

 Envisageant cliaque problème dans toute sa généralité, 

 l'auteur suppose successivement la surface définie 

 i'aramétriqueinent, [lar une équation quelconque en 

 .\ . y. z. puis par une équation île la forme z = l'{.\, } . 

 C'est ainsi que, dans le deuxième mode de représen- 

 tation, il donne l'équation aux courbures principales 

 sous une forme assez élégante de déterminant. A la 

 fin du chapitre se trouvent exposés, à la manière de 

 Gauss. la notion de courbure totale et son calcul en 

 fonction des coefficients du t/>'. 



I.e chapitre IV est consacré au calcul de la courbure 

 -• ■désique. 



Le chapitre V a une importance fondamentale pour 

 la suite de l'ouvrage. C'est un exposé très général de 

 la théorie des formes quadraliqu's lunaires de dilTé- 



renlielles, de leurs transformations et des invariants 

 et covariants qui leur sont attachés. Comme applica- 

 tions, sont calculées la courbure et la torsion géodé- 

 siques, ainsi que les formules générales de Frenet pour 

 deux courbes orthogonales. 



Le dernier paragraphe est consacré à une formule 

 importante, appelée t'ormnle déclinnge. Si l'on effectue 

 deux dilférentiatioDS géométriques successives suivant 

 deux courbes C et C, le résultat dépend de l'ordre de 

 ces dilTérentiations. On a 0'0o — 00'? = (7.09 — s'.®'?, 

 g elg' désignant les courbures géodésiques de C et C. 



Le chapitre VI est relatif aux trois équations qui 

 relient les coefficients des deux formes quadratiques 

 fondamentales de la théorie des surfaces et qui sont 

 l'équivalent des formules df Codazzi de la théorie du 

 trièdre mobile. L'auteur les établit d'abord, en partant 

 de la formule d'échange, sous une forme élégante et 

 condensée, faisant intervenir les courbures normales 

 et tangentielles et les torsions géodésiques des lignes 

 coordonnées. Il les transforme ensuite pour arrivera 

 leur forme explicite, qu'il déduit aussi des formules 

 de Gauss et de Weingarten. 



Dans le chapitre Vil, sont passés en revue les lignes 

 ou réseaux particuliers qu'on peut tracer sur une sur- 

 l'ace : lignes de courbure, asymptotiques, géodésiques, 

 réseaux conjugués, isothermes, réseaux orthogonaux 

 comprenant une famille de géodésiques, ellipses et 

 hyperboles géodésiques, cercles géodésiques; avec 

 application à certaines surfaces, telles que qua- 

 driques, surfaces réglées, surfaces développables. 



Le chapitre VIII a trait à la représentation sphérique 

 des surfaces, puis des congruences, dont l'auteur 

 établit les propriétés classiques. 



Le chapitre IX est surtout consacré à la surface des 

 centres de courbure et aux surfaces de Weingarten. 



Dans le chapitre X sont traités certains problèmes 

 relatifs à la déformation des surfaces, à propos des- 

 quels l'auteur fait une étude sommaire des surfaces 

 minima. Puis, s^nt exposées les intéressantes re- 

 cherches de Weingarten sur certaines classes de sur- 



faces applicables, ayant des ds- de la forme 



u -\- V 



udti' 



-f vdv-), c/u'- -f 2(u -j- a i')rfv-, rfu--|- 2N;-|- ^ — ^c-"'j(/v ^ 



Le chapitre se termine par l'étude des surfaces W au 

 point de vue de la représentation sphérique, avec l'ap- 

 plication bien connue à la déformation du paraboloide 

 de révolution. 



Dans le chapitre XI, l'auteur reprend la théorie 

 générale des lignes tracées sur une surface. Il intro- 

 duit une forme cubique de dilTérentielles dont les 

 coefficients sont des invariants du troisième ordre, et 

 montre, il'après Chrisloffel, comment on [leut la géné- 

 raliser jusqu'à un ordre quelconque. 



Le chapitre Xll contient des considérations géné- 

 rales sur le nombre et la formation des invariants et 

 covariants d'un ordre donné. 



Le chapitre XIII étend les formules de Weingarten à 

 la théorie des congruences. 



Enfin, le dernier chapitre est consacré à l'examen 

 de diverses questions, telles (|ue courbure des lignes 

 asymptotiques, condition d'applicabilité d'une surface 

 sur une surface de révolution, é(]uation aux dérivées 

 partielles îles surfaces isothermiques. 



L'impression qui se dégage de la b>ilure, parfois un 

 peu pénible, de l'ouvrage de .M. Knoblauch est l'extrême 

 facilité avec laquelle ce géomètre sait mener à bonne 

 fin des calculs au premier abord inextricables, grâce 



