BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



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ANALYSES ET INDEX 



i" Sciences mathématiques 



Ililbei"! (I'.\ Professeur ./ V l'iiivorsilé de Gultingue. 

 — Théorie des corps de nombres algébriques. — 

 Ouvrufje tniduit fie talleniaiid pur MM. \. Lévy, 

 Professeur au lycée Saint-Louis, et Th. Got, aniien 

 Ingénieur de la Marine, agrégé de l'Université, 

 avec une préface et des notes de M. G. HuMiiEnr, 

 membre de f Institut, et des notes de M. Tii. Gor. 

 {Prix : 25 fr.) Librairie scientifique A. Hermann et 

 lils. Paris, 1913. 



La SuciiHc'- .Malliéiiialii|ue allemande cliarge de temps 

 rii temps un de .ses membres de lui présenter un 



Bericiit ", un compte rendu détaillé de l'état d'une 

 théorie, l'armi d'S comptes rendus, un des plus remar- 

 qués a été celui qu'a fait, en 1894, .M. Hilhert sur la 

 Théorie des corps de nombres algébriques. C'est ce 

 compte rendu, publié en allemand en 189", dont 

 MM. Lévy et (îot donnent aujourd'hui au public Fran- 

 çais la Iraduction, augmentée de quelques notes dues 

 il MM. Hunibert et Got. 



J'ai déjà essayé d'expliquer en peu de mots (analyse 

 d'un livre de M. Sommer, lîevue gén. des Se, t. XXII, 

 p. 636) ce que c'est qu'un nombre algébrique, en parti- 

 culier un nombre algébrique entier, et comment ces 

 notions se sont introduites dans la science ; je n'y 

 reviendrai pas. 



On remarquera que l'ouvrase de M. Hilbert s'appelle: 

 Théorie des corps de nombres algébriques, et non 

 tout simplement : Théorie des nombres algébri(iues. 

 C'est en effet une tendance de la théorie des nombies 

 actuelle, de ne pas considérer les propriétés des 

 nombres isolés, mais celles des ensembles de nombres. 

 Cette tendance est née jusleraent avec les recherches 

 des mathématiciens sur les nombres algébriques. 



Ils ont remarqué les analogies (analogies qui ne vont 

 pas sans quelques différences) qu'il y a entre l'en- 

 semble des nombres d'un corps algébrique et celui des 

 nombres rationnels d'une part ; entre l'ensemble des 

 •■ntiers d'un corps algébrique et celui des entiers 

 ordinaires d'antie part. Ces analogies tiennent évi- 

 demment à quelques propriétés fondamentales com- 

 munes, et l'idée est venue, tout natui ellement, d'étu- 

 dier, en général, les ensembles qui jouissent de ces 

 propriétés fondamentales. C'est ain^i que se sont 

 formées les théories des corps, des anneaux, des 

 réseaux ou modules, des faisceaux ou groupes. 



En particulier, un cor/AS dénombres est un ensemble 

 <le nombres tel qu'en faisant sur eux des additions, 

 des soustractions, des multiplications, des divisions 

 (en un mot, des opérations rationnelles), on retrouve 

 toujours un nombre de l'ensemble. 



Par exrmple l'ensemble de tous les nombres ration- 

 nels {les entiers et les fractions ordinaires: forme un 

 corps. Il en est de même de l'ensemble des fonctions 

 rationnelles à coefficients rationnels d'un nombre 

 algébrique i, et c'est cet ensemble qui constitue le 

 corps algébrique K (a). 



Un anneau de nombres est un ensemble de nombres 

 tel qu'en faisant sur eux des additions, des soustrac- 

 tions, des multiplications (les opérations rationnelles 

 entières on retrouve toujours un nombre de l'en- 

 semble. Tout corps est éviileminent un anneau. Mais de 

 plus il peut y avoir dans un corps des anneaux qui y 

 soient contenus et qui, eux, ne soient pas îles corps. 

 Ainsi, dans le corps des nombres rationnels, il y a 

 l'anneau des entiers ordinaires. Uans-un corps algébri- 

 que, il y a l'anneau des entiers de ce corps. 



Dans un corps, la question de la divisibilité ne se 

 pose pas : tout nombre du corps est divisible par n'im- 

 porte quel autre (sauf zéro), .\insi, ilans le corps des 

 nombres rationnels, n'importe quel nombre ration- 

 nel T est divisible par n'importi' quel autre -,. le 

 b d 



ad 

 rapport étant •— • 



Mais il n'en est pas de même dans les anneaux. Ainsi 

 un entier ordinaire n'est pas divisible par n'inipoi'te 

 quel autre ; un entier algébrique d'un corps n'est pas 

 divisible par n'importe quel autre entier de ce corps. 

 Ces questions de divisibilité constituent l'aritliini-tique 

 des corps algébiiques, et c'est à celte arithmétique 

 qu'est consacré principalement l'ouvrage de .\1. Hilbert. 



Sans entrer dans des détails techniques qui seraient 

 déplacés dans cette Revue, nous pouvons donner une 

 idée des grandes lignes de cette théorie. 



L'idée qui vient naturellement au malliématicien 

 est de chercher à transporter dans l'anneau des entiers 

 d'un corps alfjébrique les lois de la divisibilité des 

 entiers ordinaires. La première question qui se présente 

 ainsi est celle des unités. 



On aiqjelle unité, dans un anneau, un élément de 

 cet anneau qui divise tous les autres. Dans l'anneau 

 des entiers ordinaires, il y a deux unités qui sont -|- 1 

 et — t. Dans l'anneau des «entiers d'un corps aisé- 

 brique, il y en a, en général, une inlinité (il n'y a 

 exception que pour les corps de nombres du second 

 degré imaginaires). Cette question des unités a été 

 élucidée pour la première fois par Lejeune-Dirichlet 

 en 1846. Elle est traitée dans l'ouvrage de M. Hilbert 

 par des méthodes rapides dues à .Minkowski. Deux 

 entiers qui ne diffèrent que par un facteur unité sont 

 dits asiociés; ils ont les mêmes diviseurs et les mêmes 

 multiples. 



La question qui se présente ensuite est celle de la 

 décomposition en facteurs premiers. On sait que, dans 

 l'anneau des entiers ordinaires, on appelle nombre 

 premier un entier positif qui n'a d'autre diviseur 

 positif que lui-même ou l'unité. Et l'on a ce théorème : 

 au signe près, tout entier est dcconiposable en un 

 produit de facteurs premiers, et cela d'une seule 

 manière. Ce théorème est d'ailleurs d'un usage cons- 

 tant, et l'on doit se demander s'il peut être transporté 

 dans les corps algébriques. C'est-à-dire : existe-t-il 

 dans tout corps algébrique -des entiers particuliers, 

 qu'on appellera premiers, qui ne soient divisibles que 

 par eux-mêmes et par les niiités, et tels que tout 

 entier du corps soit décomposable en un produit de 

 facteurs preniiers, et cela d'une seule manière, à un 

 facteur unité près'l 



On l'a espéré longtemps. Euler l'admettait. Lamé 

 aussi ; Caucliy a essayé de le démontrer. Mais il ne 

 pouvait pas aboutir, car le fait n'est pas vrai en géné- 

 ral. Nous avons expliqué cela dans notre analyse ilu 

 livre de M. Sommer, citée plus haut. Nous y avons dit 

 que cette difliculté a été levée par Kuminer dans un 

 cas particulier, et ensuite par M. Dedekind dans le cas 

 général, au moyen de la considération des idéaux. 

 Essayons de fairecomprendre ici en peu de mots ce que 

 c'est qu'un idéal d'un cor[is algébrique. 



Soit l'expression a; dans laquelle % est un entier fixe 

 du coips, et 5 varie, pouvant représenter tous les 

 entiers du corps. Cette expression représente tous les 

 multiples de x. Or, se donner a, c'est se donner l'en- 

 semble de ses multiples; réciproquement se donner 

 l'ensemble de ses multiples, c'est se donner » (ou un 

 nombre associé). 



